LIVRE II

la fonction (o) devient

, î // // ' *(£»«*-HCw«'4-H»/'«)

kk'a^E

^ICt: ^e «^

Intégrons d'abord cette fonction depuis i/'== — «> jusqu'à m'= oo . Si Ton fait

^ /kVL( , Gii\

et si Ton prend l'intégrale depuis ^ = — oo jusqu'à ^ = 00, on aura, en ne considérant que la variation de u\

ku* FH - G>

Or on a

l'intégrale précédente devient donc

4** âHÎ

On aura, par le numéro précédent, Terreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, sur la correction du premier élément, en multipliant la quantité sous le signe / par dtw, et prenant l'intégrale depuis w = o jusqu'à w = 00 , ce qui donne, pour cette erreur.

le signe 4- indiquant l'erreur moyenne à craindre en plus, et le signe — l'erreur moyenne à craindre en moins.

Déterminons présentement les facteurs /n^'^ et n^'\ de manière que

cette erreur soit un minimum. En faisant varier mC) seul, on a

Il est facile de voir que cette différentielle disparait, si Ton suppose, dans les coefficients de rf/n^'^

[jc étant un coefficient arbitraire indépendant de i, et au moyen duquel on peut rendre /w^'^ et n^^ des nombres entiers; la supposition précé-

dente rend donc nulle la différentielle de ^9 prise par rapport à m^'K

On verra de la même manière que cette supposition rend nulle la différentielle de la même quantité, prise par rapport à /i^'\ Ainsi cette supposition rend un minimum Terreur moyenne à craindre sur la correction du premier élément; et Ton verra de la même manière qu'elle rend encore un minimum l'erreur moyenne à craindre sur la correction du second élément, erreur que l'on obtient en changeant dans l'expression de la précédente H en F. Dans cette supposition, les corrections des deux éléments sont

* — 7^ 'j iTlT' >; 77TZ TTî 77\ T.- rT

Il est facile de voir que ces corrections sont celles que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, ou du minimum de la fonction

d'où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit le nombre des éléments à déterminer; car il est visible que l'analyse précédente peut s'étendre à un nombre quelconque d'éléments.