LIVRE II

qu'à X = a, X étant supposé, ainsi que a, divisé dans une infinité de parties prises pour unité. Présentement, il est clair que le terme indépendant des exponentielles, dans le produit de la fonction précédente par (r^^yT^'i'^'yr^ ^ est la probabilité que la somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par m, m^^\ ..., ou la fonction (/n), sera égale à /, en même temps que la fonction (n), somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par n, n^^\ ..., sera égale à /'; cette probabilité est donc

'/? (~ ) cos(mcj-4- /iuj')j?x ... j

( X î/9 {-A cos(m('-Oc-j- nC-Oe'jx |

les intégrales étant prises depuis cj et xs' égaux à — tt, jusqu'à xs et ts' égaux à 77. Cela posé :

En suivant exactement l'analyse du numéro précédent, on trouve que la fonction précédente se réduit à très peu près à

î /. /. t If — 'CT|CT-/'CTV-i- — «'lCT«8m(')«^-tCTBr.8m(0n('î-»-CJ'«.S«(0«i

^^Sfdmdxoc *

^ et F ayant ici la même signification que dans le numéro cité. On voit encore, par le même numéro, que les intégrales peuvent s'étendre depuis atj = — «> , au' = — oo , jusqu'à au = oo et axs' = ao . Si l'on fait

' ~^® aA'a Sm(')^S/i(')a-(S/n(')/i(0)a'

si l'on fait ensuite

la double intégrale précédente devient

— --.(/«8/i(0«-t/f Sm(On OH-f «Sm(«:«] C C ai dt'

dtdt' -l-i8m(')«-

Q kk'a^ï. X I I c k AS/n(«-«

OSurr» de L. — VU. ^2

En prenant les intégrales dans les limites infinies positives et négatives, comme celles relatives à au et axs\ on aura

Il faut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de / et de /' seront comprises dans des limites données, multiplier cette quantité \^9iTdldl\ et l'intégrer ensuite dans ces limites. En nommant X cette quantité, la probabilité dont il s*agit sera donc ff X dl dt . Mais, pour avoir la probabilité que les erreurs u et u'des corrections des éléments seront comprises dans des limites données, il faut substituer dans cette intégrale, au lieu de / et de /', leurs valeurs en u eiu\ Or, si Ton diflerentie les expressions de /et de f, en supposant t constant, on a

^ di= du Smî')/>(') -h du' Sm<^^q^'\

o r=rfiiSn^'>p<') H-rfi«'Sii<'>^<'>,

ce qui donne

rfti(Sm<^)p(^\Sn<^)^(''> - Sn<^><').Sm(<)^f^>)

Si Ton diiïérentie ensuite l'expression de /', en supposant u constant, on a

on aura donc

rf/rf/':rr(Sm<'y'^S»<'>7<^)---S»<'y').S/nî'>^<'>)rfiirfi«'.

En faisant ensuite

Fr=Sn(')»(Sm(V'^)^~^S/n<')n<').Sm('Jp(').S/i<'J/>('>-4-Sin<'>a.(S/i<')/>î*')S

G^S/if''2.S/n('>(').Sm^')^<'>4-Sm('>2.S/i^'')/><'^S/i<')^î'> -S/nî*>/i<').S/i('><'^Sm^*>ç<''>-+-Sm<')p<'J.Sn<')î<'^

H — Sn(')^(Sm(')^('))a -- 2Sm<')/i(*').Sm<'>^t').S/it'>^('> 4- Sm<'>^{S/i<')ç(0)j^ 1 3:r Sm<'><'>.S/it')^<'^ — Snto^(/).8m<'^î('),