LIVRE II

La même analyse peut être étendue aux divers résultats de la Médecine et de l'Économie politique» et même à l'influence des causes morales; car l'action de ces causes* lorsqu'elle est répétée un grand nombre de fois, offre dans ses résultats autant de régularité que les causes physiques.

On peut encore déterminer par l'Analyse des Probabilités, comparée à un grand nombre d'expériences, l'avantage et le désavantage des joueurs, dans les cas dont la complication rend impossible leur recherche directe. Tel est l'avantage de la main, au jeu du piquet : telles sont encore les possibilités respectives d'amener les différentes faces d'un prisme droit rectangulaire, dont la longueur, la largeur et la hauteur sont inégales, lorsque le prisme projeté en l'air retombe sur un plan horizontal.

Enfin on pourrait faire usage du Calcul des Probabilités pour rectifier les courbes ou carrer leurs surfaces. Sans doute, les géomètres n'emploieront pas ce moyen; mais, comme il me donne lieu de parler d'un genre particulier de combinaisons du hasard, je vais l'exposer en peu de mots.

Imaginons un plan divisé par des lignes parallèles, équidistantes de la quantité a; concevons de plus un cylindre très étroit, dont 2r soit la longueur, supposée égale ou moindre que a. On demande la probabilité qu'en le projetant, il rencontrera une des divisions du plan.

Élevons sur un point quelconque d'une de ces divisions une perpendiculaire prolongée jusqu'à la division suivante. Supposons que le centre du cylindre soit sur cette perpendiculaire et à la hauteur y audessus de la première de ces deux divisions. En faisant tourner le cylindre autour de son centre et nommant 9 l'angle que le cylindre fait avec la perpendiculaire, au moment où il rencontre cette division, 29 sera la partie de la circonférence décrite par chaque extrémité du cylindre, dans laquelle il rencontre la division ; la somme de toutes ces parties sera donc l\j^dy^ ou 4?.y — kS y^\ or on a j^ =^ rcos9 ; cette somme est donc

4 9^ — 4 '' sîn 9 -I- const.

Pour déterminer cette constaote, nous observerons que l'intégrale doit s'étendre depuis y nul jusqu'à y = r, et par conséquent depuis ç = - jusqu'à ç = o, ce qui donne

consi. = 4'';

ainsi la somme dont il s'agit est kr. Depuis y ^a — r jusqu'à y =^a, le cylindre peut rencontrer la division suivante, et il est visible que la somme de toutes les parties relatives à cette rencontre est encore ^r; 8rest donc la somme de toutes les parties relatives à la rencontre de l'une ou de l'autre des divisions par te cylindre, dans le mouvement de son centre le long de la perpendiculaire. Mais le nombre de tous les arcs qu'il décrit en tournant en entier sur lui>même, à cbaque point de cette perpendiculaire, est aa?;; c'est le nombre de toutes les combinaisons possibles ; la probabilité de la rencontre d'une des divisions du plan par le cylindre est donc — ■ Si l'on projette un grand nombre de fois ce cylindre, le rapport du nombre de fois où le cylindre rencontrera l'une des divisions du plan au nombre total des projections sera, par le n° 16, à très peu près, la valeur de —■> ce qui fera connaître la valeur de la circonférence 3tc. On aura, par le même numéro, la probabilité que l'erreur de cette valeur sera comprise dans des limites données, et il est facile de voir que le rapport — qui, pour un nombre donné de projections, rend l'erreur à craindre la plus petite, est l'unité, ce qui donne la longueur du cylindre égale à l'intervalle des divisions, multiplié par le rapport de la circonférence à quatre diamètres. Conr-t'vons niainlcnaiit le nl;in iirécr-denl divisé encore par dos lit