LIVRE II. sm

intérieur, dont 6— arsera la longueur, et a — 3 r ta hauteur; ensuite deux petits rectangles, dont r sera la hauteur, et 6 — ar la longueur ; puis deux autres petits rectangles dont r sera la longueur et a — ar la hauteur; enfin, quatre petits carrés dont les côtés seront égaux àr.

Tant que le centre du cylindre sera placé dans le rectangle intérieur, le cylindre, en tournant sur son centre, ne rencontrera jamais les côtés du grand rectangle.

Lorsque le centre du cylindre sera placé dans l'intérieur d'un des rectangles dont r est la hauteur et 6 — ar la longueur, il est facile de voir, par ce qui précède, que le produit de 8r par la longueur b — sr sera le nombre des comhînaisons correspondantes, dans lesquelles te cylindre rencontrera l'un ou l'autre des côtés 6 du grand rectangle. Ainsi 8r(6~ ar) sera le nomhre total des combinaisons correspondantes aux cas dans lesquels, le centre du cylindre étant placé dans l'un ou l'autre de ces pelits rectangles, le cylindre rencontre le contour du grand rectangle. Par la même raison, 8r{a — ar) sera le nombre total des combinaisons dans lesquelles, le centre du cylindre étant placé dans l'intérieur des petits rectangles dont r et a — ar sont les dimensions, le cylindre rencontre le contour du grand rectangle.

Il nous reste à considérer les quatre petits carrés. Soit ÂBCD l'un d'eux. De l'angle  commun à ce carré et au grand rectangle, comme centre, et du rayon r, décrivons un quart de circonférence se terminant aux points B et D. Tant que le centre du cylindre sera compris dans le quart de cercle formé par cet arc, le cylindre, en tournant, rencontrera dans toutes ses positions le contour du grand rectangle; le nombre des combinaisons dans lesquelles cela aura lieu est donc égal au produit de ait par ta surface du quart de cercle, et par conséquent il est égal à Si le centre du cylindre est dans la partie du carré

qui est au delà du quart de cercle, le cylindre, on lotirnant aiituur ^^l■ son centre, pourra rencontrer l'un ou l'autre des ileux côtés AB et AD prolongés, sans jamais les rencontrer tous deux îi la fois, fnm- «lé»'

miner le nombre des combinaisons relatives à cette rencontre, je conçois sur un point quelconque du côté AB, distant de m du point A, une perpendiculaire / dont l'extrémité soit au delà du quart de cercle. Je place le centre du cylindre sur cette extrémité, de laquelle j'abaisse quatre droites égales à r, et dont deux aboutissent sur le côté AB prolongé, si celai est nécessaire, et deux autres sur le côté AD pareillement prolongé. Je nomme 2<p l'angle compris entre les deux premières lignes, et acp' l'angle compris entre les deux secondes. Il est visible que le cylindre, en tournant sur son centre, rencontrera le côté AB prolongé tant qu'une de ses moitiés sera dans l'angle 39, et qu'il rencontrera le côté AD prolongé tant qu'une de ses moitiés sera dans l'angle aç'; le nombre total des combinaisons dans lesquelles le cylindre rencontrera l'un ou l'autre de ces côtés est donc 4(î + ç')! *'"sî ce nombre, relativement à la partie du carré extérieure au quart de cercle, est

or on a évidemment

X = /■ cosç', j" — '■ cosç ;

l'intégrale précédente devient ainsi

4'^//(? + ip'jrftpdç'sinip sin<p',

et il est facile de voir que l'intégrale relative à f ' doit être prise depuis 9'= 0 jusqu'à 9'= ■; — 9, et que l'intégrale relative à 9 doit être prise depuis 9 = 0 jusqu'à 9= -> ce qui donne ^'''(la — ic*) pour cette in-