LIVRE II

(les fonctions de x élevées à de grandes puissances de l'ordre -^ % étant une fraction extrêmement petite, alors U est le plus souvent de Tordre \/a, ainsi que ses différences successives; U, —V—? J ^ > •••

sont respectivement des ordres ya, a, a'» ...; d'où il suit que la convergence des séries de la formule (3) exige que T et T' ne soient pas

d'un ordre supérieur à -^•

Si Ton suppose 0 = 6', alors on a à fort peu près T = T', et la formule (3) se réduit, en négligeant les termes de l'ordre a, à l'intégrale

"^ — ~ — > prise depuis / = — T jusqu'à / = T'; ce qui revient, en négli-

géant le carré de la différence T'* — P, à doubler l'intégrale précédente et à la prendre depuis / nul jusqu'à

ja -<- X'*

Or on a

Ta = logY ~ logr,

et l'on peut supposer

9 étant une fonction de a? ou de a — 9, qui ne renferme plus de facteurs élevés à de grandes puissances. En nommant donc 4>, ^9

-T-^f •••ce que deviennent, lorsque 0 est nul, 9, -^y ^^» --.j en observant ensuite que la condition de Y ou 4> un maximum donne ^ = o, on aura

i^dx^ 6<bdx

» 8 [3* dx' y^lTxy J -^ . . . .

En changeant 6 dans — 0, on aura la valeur de aT'; on aura donc, en négligeant les termes de l'ordre a*,

1 "~ 2$rfj:*'

|)artant.

Faisons

la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limiles

, if^ ■ a — -A- sera k

l'intégrale étant prise depuis t~o, et pouvant être obtenue d'une manière fort approchée par les formules du n*" 27 du Livre I".

Il résulte de celte expression que la valeur de x la plus probable est «, ou celle qui rend l'événement observé le plus probable, et qu'en multipliant à l'infini les événements simples dont l'événement observé

se compose, on peut à la fois resserrer les limites a± -n—> et augmenter la probabilité que la valeur de x tombera entre ces limites; en sorte qu'à l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se confond avec la certitude.

Si l'événement observé dépend d'événements simples de deux différents genres, en nommant x et x' les possibilités de ces deux genres d'événements, on verra, par les raisonnements précédents, que,^ étanl