PREMIÈRE PARTIE

œNSmËRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉLÉMENTS DES GRANDEURS.

1. Les grandeurs, considérées en général, s'expriment communé- ^^^ntpjur les lettres de Talphabet, et c'est à Viete qu'est due cette notation commode qui transporte à la langue analytique les alphabets des ^^Bgaes connues. L'application que Viëte fit de cette notation à la Géométrie, à la théorie des équations et aux sections angulaires, forme une d^ époques remarquables de l'histoire des Mathématiques. Des signes Ires simples expriment les corrélations des grandeurs. La position d*ime grandeur à la suite d'une autre suffit pour exprimer leur pro- ^luit. Si ces grandeurs sont la même, ce produit est le carré ou la se- <^Bde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois, Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois, en lui donnant lo nombre a pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d'une unité. Cette notation,

(Mmnt dëL,— ?II. 1

en ne la considérant que comme une manière abrégée de représenter ces puissances, semble peu de chose; mais tel est l'avantage d'une langue bien faite» que ses notations les plus simples sont devenues souvent la source des théories les plus profondes, et c'est ce qui a eu lieu pour les exposants de Descartes. Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par des exposants fractionnaires; et de même que Descartes exprimait par les exposants a^ 3, ... les puissances secondes, troisièmes, ... d'une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, ... par les exposants fractionnaires ^, j, .... En général, il exprima par l'exposant — la racine n

d'une grandeur élevée à la puissance m. En effet, suivant la notation de Descartes, cette expression a Keu dans le cas où m est divisible par 71, et Wallis, par analogie, l'étendit à tous les cas. Il remarqua ensuite que la multiplication des puissances d'une même grandeur revient à ajouter les exposants de ces puissances, qu'il faut retrancher dans leur division, en sorte que l'exposant n — m indique le quotient de la puissance n d'une grandeur, divisée par sa puissance m; d'où il suit que ce quotient devenant l'unité, lorsque m est égal à /i, toute grandeur ayant zéro pour exposant est l'unité même. Si m surpasse /i, l'exposant n — m devient négatif, et le quotient devient l'unité divisée par la puissance m — /i de la grandeur. Wallis supposa donc généralement que l'exposant négatif exprime l'unité divisée par la racine

^icmc jg \^ grandeur élevée à la puissance m.

Ce fut dans son Ouvrage intitulé Arithmetica infinitorum que Wallis exposa ces remarques qui le conduisirent à sommer a;", x étant supposé formé d'une infinité d'éléments pris pour unité, ce qui, suivant les notations actuelles, revient à intégrer la différentielle oc^dœ. Il fit

voir que cette intégrale, prise depuis x nul, est » ce qui lui donna

l'intégrale d'une suite formée de différentielles semblables. En considérant ainsi l'intégrale fdx\i — af) , lorsque nets sont des nombres