LIVRE II

On doit, dans cette fonction, supposer a; = a, ce qui donne, en substituant pour i sa valeur na^{3 — 2a),

3 — ^a , 1 4- aa

Ensuite, x étant égal à a'-f- 0, il est égal k a -4- y a -f- 9; en négligeant donc les quantités de Tordre a, on aura

Maintenant le nombre des parties de deux coups étant

ce nombre sera

i . r^ — i . r ^< __ ^(^^Olfl , 1 . 1/

Faisons

et désignons par ^' la quantité

rf>Y

^«•^ L(3-2a)a (i-+-2fl)>J

qui, après toutes les réductions, se réduit à

9(3 — ia) fi -+-2/1)

a/i(i — aa)2(3 — 2aH-2a»)>'

la fonction (e^) deviendra

En l'intégrant depuis / = — c» jusqu'à /=oo, et depuis 1 = --^ jusqu'à /'= 00 , on aura la probabilité que le nombre des parties de

deux coups sera égal à

or on a

fdlc-«''-«''"-«'i'-'-''i'=fdic v + ï-

Celte dernière intégrale, prise depuis / = — » jusqu'à / = co , est, par ce qui précède,

En la multipliant par dl et la mettant sous cette forme et l'intégrant depuis t= — oo jusqu'à l=(xi , on aura

y^lqq+qq' + q-q

-c H+9i'*'fl'.

La l'onction {t") intégrée par rapport à / et /', dans les limites infinies positives et négatives de ces variables, devient ainsi

-= 1/ — ; — " , ■ idlc~i^'-*-''9'-'fv'.

v/jT V çg + qg +qq

Ainsi la probabilité que le nombre de parties de deux coups sera compris dans les limites

TT-^ 1- " ~ ' ±ï = n[fl» + (i — «)*] ±1

(i-) -^fk'dr €-*■•".

V'ît

pour l'expression de la probabilité que le nombre de parties de deux coups sera compris dans les limites

l'intégrale étant prise depuis r nul. L'intervalle de ces deux limites est

3r>Jn, et te rapport de cet intervalle au nombre n de parties est -=■

Ce rapport diminue sans cesse à mesure que n augmente, et r peut en même temps croître indéfiniment, de sorte que l'intégrale précédente approche indéfiniment de Tunité.

Le nombre total des coups est te triple du nombre des parties de trois coups, plus le double du nombre des parties de deux coups, ou le triple du nombre total n des parties, moins le nombre des parties de deux coups ; il est donc

L'intégrale (O est donc l'expression de la probabilité que le nombre des coups sera compris dans ces limites.

Si, au lieu de connaître le nombre i des parties gagnées par le joueur A et le nombre total n de parties, on connaît le nombre i et le nombre total des coups, la même analyse pourra servir à déterminer le nombre inconnu n des parties. Pour cela, désignons par h le nombre total des coups; on aura, par ce qui précède, les deux équations

3n— ^ k±r^/ii,