LIVRE II. S

lequel les exposants s et i — « du premier et du second ternie du binôme sont à très peu près dans le rapport de ces termes, ce qui

donne

Nous nommerons ^ cette quantité, et nous ferons On aura, par le n" 16,

pour la probabilité de s, correspondante à l'adresse x du joueur A.

On trouvera pareillement que, si l'on nomme z le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur B. sur le nombre /i — i de

parties qu'il a gagnées, la valeur de s la plus probable sera — ^^^, et qu'en désignant par s' cette quantité et faisant

la probabilité de z correspondante à x sera

V 2Z'(/1 — I — S'jîT

Le produit de ces deux probabilités est donc la probabilité correspondante à X, que le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur A, sera s'-+-l, tandis que le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur B, sera s'+ 1. Soit

''~2*'(i-j')' •'-3s'(n~i~ on aura, pour cette probabilité composée.

Il faut multiplier cette probaliililé par celle (

dans le numéro précédent, est 7— j-î le produit est

L'intégrale du dénominateur doit être prise depuis x=o jusqu'à x=\, et par le n® 27 du Livre !•'', cette intégrale est, à très peu près,

V dx^

Si l'on nomme X la fonction

et que l'on désigne par a' la valeur de x qui rend Xy un maximum, et par X' et Y' ce que deviennent X et j lorsqu'on y change x en a\ on aura, par le numéro précédent, en faisant x = a' •+- 6,

Xdx ^qq' c-v^-9'i''=Y'\' de c ^""^

dJT*

Il est facile de voir que a' ne dififere de la valeur a de j; qui rend y un maximum, que d'une quantité de l'ordre a, que nous désignerons par /"a; en substituant dans Y\ a -^-foL au lieu de a\ pour en former Y', et

développant par rapport aux puissances de a, on verra que ^ étant

nul, parce que Y est le maximum de jk. Y' ne diffère de Y que de quantités de l'ordre a; ainsi l'on a, aux quantités près d'un ordre inférieur

à celui que l'on conserve, et en observant que vt^z ^^ jFT~î peuvent être négligées par rapport à ^ry- »

rf>X'Y' rf^Y

aX'Y'rfjr» ""aYd^a'

la fonction (e) devient parla

(^') «f.v/^^iS''^^^^^^-""-"'*^''