LIVRE IL U

Le résultat observé étant composé d'un très grand nombre d'événements simples, supposons que l'événement futur soit beaucoup moins composé. L'équation qui donne la valeur a! de x^ correspondante au maximum dey^, est

dy dz

yax zdx

—^ est une quantité très grande, de l'ordre -% et, puisque le résultat futur est très peu composé par rapport au résultat observé, —j- sera d'un ordre moindre, que nous désignerons par •~^« Ainsi, a étant la valeur de x qui satisfait à l'équation o = —4-» la différence entre a et a' sera très petite de l'ordre a\ et l'on pourra supposer

Cette supposition donne

^ dx 1.2 dx^

Mais on a ^ = o, et îl est facile d'en conclure que y^ ^ est d'un

c^^a» rf*Y ; le terme —

séquent au plus de l'ordre a"^ '\ Ainsi la convergence de l'expression de Y' en série exige que X surpasse ^, et dans ce cas Y' ne diffère de Y que de quantités de l'ordre a*^-'.

Si l'on nomme Z ce que devient z lorsqu'on y fait x = a, on s'assurera de la même manière que Z' peut se réduire à Z. Enfin on prouvera

rf* ( Y' Z' 1 par un raisonnement semblable que — ^-j- - se réduit à très peu près

à Z^^« En substituant ces valeurs dans l'expression de P, on aura

c'est-à-dire que l'on peut alors déterminer la probabilité du résultat futur, en supposant x égal à la valeur qui rend le résultat observé le

ordre égal ou moindre que ~; le terme ~^"— * sera par con-

7 I*4«0««alSI OX

kOk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

plus probable. Mais il faut pour cela que le résultat futur soit assez peu composé pour que les exposants des facteurs de s soient d'un ordre de grandeur plus petit que la racine carrée des facteurs de y; autrement, la supposition précédente exposerait à des erreurs sensibles.

Si le résultat futur est une fonction du résultat observé, z sera une fonction dey, que nous représenterons par <p(y). La valeur de x qui rend sy un maximum est, dans ce cas, la même qui rend y un maximum; ainsi l'on a a'= a, et si l'on désigne V" par ^'{y)f l'expression de P deviendra, en observant que ^ = o>

Si (f{y) =y''f en sorte que l'événement futur soit n fois la répétition de l'événement observé, on aura

La probabilité P, calculée dans la supposition que la possibilité des événements simples est égale à celle qui rend le résultat observé le plus probable, est Y"; on voit ainsi que' les petites erreurs qui résultent de cette supposition s'accumulent a raison des événements simples qui entrent dans le résultat futur, et deviennent très sensibles lorsque ces événements sont en grand nombre.

33. Depuis 174^» époque où l'on a commencé à distinguer à Paris sur les registres les baptêmes des garçons de ceux des filles, on a constamment observé que le nombre des premiers a été supérieur à celui des seconds. Déterminons la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant un temps donné, par exemple, dans l'espace d'un siècle.

Soient p le nombre observé des baptêmes des garçons, q celui des filles, 2n le nombre des baptêmes annuels» x la probabilité que l'en-