LIVRE II. M

fant qui va naître et être baptisé sera un garçon. En élevant a?-4-(i — a?) à la puissance un et développant cette puissance, on aura

La somme des n premiers termes de ce développement sera la probabilité que chaque année le nombre des baptêmes des garçons l'emportera sur celui des baptêmes des filles. Nommons z cette somme; 2' sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant le nombre i d'années consécutives; donc» si Ton désigne par P la probabilité entière que cela aura lieu, on aura, par le numéro précédent,

p fxPdx z«(i — ar)^

fxPdx[i — x)*i

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis 00 =10 jusqu'à a? = I .

Si Ton nomme a la valeur de x qui rend x'^z^i — xy un maximum

et que Ton désigne parZ, j-> y^ ce que deviennent 5, ^i j-^» loi^s-'

qu'on y change x en a, on aura, par le n° 26,

fxPdx z*(i — x)<i =

y p[i — a)^ -H qa^ -4- ià^[i — a)*

dZ^ — 7.d^Z i? dx'^

z étant la somme des n premiers termes de la fonction

ar»« 14- an 1 i ^ -r-^ -h . . . L

on a, par le n^ 37 du Livre I**",

l'intégrale du numérateur étant prise depuis u = — - jusqu'à « = 00 ,

et celle du dénominateur étant prise depuis u = o jusqu'à u = co .

Soit u = -^^^ \ cette valeur de s deviendra

rintégrale du numérateur étant prise depuis s = o jusqu'à s = x, et celle du dénominateur étant prise depuis s = o jusqu'à 5 = i . De là on tire

dz x^li — x)""*

zdjc "" /i« ds ("1 ~ s)"~^ '

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis 5 = 0 jusqu'à s = œ. On aura ensuite

d^z dz » — (an — i)j:

z dx'^ zdx x[i — x)

En changeant x en a dans ces expressions» on aura celles de Z,

Idx' Zrfx»*

Pour déterminer a, nous observerons que la condition du maximum

de xPz\ I — x)^ donne

p a . dZ

a i — a Zdx

d'où Ton tire, en substituant pour ^-r- sa valeur précédente,

p ^ la""^* (i — û)"

P'^q (/>-+- q)J's'' ds[i — *)«-'

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis s = o jusqu'à s = a. Pour conclure a de cette équation, nous observerons que la valeur de s qui rend s^{i — s)"'^ un maximum est à très peu près ^, et par conséquent moindre que ^ > qui lui-même est plus petit que a. Ainsi, /i

étant supposé un grand nombre, on peut, sans erreur sensible, étendfe l'intégrale de cette expression de a, depuis j = o jusqu'à 5 = 1, le