LIVRE

entre les faces des deux pièces A et B, projetées comme on Ta dit cidessus. En effet, la probabilité d'une ressemblance à chaque coup est, comme on Ta vu, //>'+ qq[y et la probabilité d'une dissemblance est p(f+pq. Nommons P la première de ces deux quantités et Q la seconde ; la probabilité d'amener un nombre impair de ressemblances dans 21 coups sera

Si l'on fait, comme précédemment,

on aura

la fonction précédente devient ainsi

Cette fonction reste la même, quelque changement que l'on fasse dans les signes de a et de oc'; elle est donc la vraie probabilité d'amener un nombre impair de ressemblances; mais, a et a' étant de petites fractions, on voit qu'elle se rapproche de ^ plus que la formule (2); le désavantage d'un nombre impair est donc par là diminué.

On voit par ce qui précède que l'on peut diminuer l'influence des inégalités inconnues entre des chances que l'on suppose égales, en les soumettant elles-mêmes au hasard. Par exemple, si l'on met dans une urne les numéros i, 2, 3, . . ., /i suivant cet ordre, et qu'ensuite, après avoir agité l'urne pour bien mêler ces numéros, on en tire un; s'il y a entre les probabilités de sortie des numéros une petite différence dépendant de l'ordre suivant lequel ils ont été placés dans l'urne, on la diminuera considérablement en mettant dans une seconde urne ces numéros, suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne, pour en bien mêler les numéros. Alors l'ordre suivant lequel on a placé les numéros dans la première urne aura extrêmement peu d'influence sur l'extraction du premier numéro

kik THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

qui sortira de la seconde urne. On diminuerait encore cette influence, en considérant de la même manière une troisième urne, une quatrième, etc.

Considérons deux joueurs A et B jouant ensemble, de manière qu'à chaque coup celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure jusqu'à ce que Tun d'eux ait gagné tous les jetons de l'autre. Soient /i et q leurs adresses respectives, a et b leurs nombres de jetons en commençant. Il résulte de la formule (H) du n^ 10, en y faisant ^infini, que la probabilité de A pour gagner la partie est

Si l'on fait dans cette expression

I — a I ziz a

on aura, en prenant le signe supérieur, la probabilité relative au cas où A est plus fort que B, et, en prenant le signe inférieur, on aura la probabilité relative au cas où A est moins fort que B. Si l'on ignore quel est le plus fort des joueurs» la demi-somme de ces deux probabilités sera la probabilité de A, que l'on trouve ainsi égale à

l^i /. 1 -.\fl^-A/. ^\a-^-b

en changeant a en 6 et réciproquement, on aura la probabilité de B. Si l'on suppose a infiniment petit ou nul, ces probabilités deviennent

b ^^ P elles sont donc proportionnelles aux nombres des jetons

des joueurs; ainsi, pour l'égalité du jeu, leurs mises doivent être dans ce rapport. Mais alors l'inégalité qui peut exister entre eux est favorable au joueur qui a le plus petit nombre de jetons; car, si Ton suppose a moindre que ft, il est facile de voir que l'expression (3) est plus

grande que r- Si lesjoueurs conviennent de doubler, de tripler, etc.

leurs jetons, l'avantage de A augmente sans cesse, et, dans le cas de a et b inBnis, sa probabilité devient ^ ou la même que celle de B.

P étant la probabilité d'un événement composé de deux événements simples dont^ et i— /) sont les probabilités respectives, si l'on suppose que la valeur de p soit susceptible d'une inégalité inconnue z qui puisse s'étendre depuis — oc jusqu'à + a, en nommant 9 la probabilité de /) + z, 9 étant fonction de z, on aura, p[)ur la vraie probabilité de l'événement composé,

f^dz '

P' étant ce que devient P lorsqu'on y change p dans p-^ s, et les intégrales étant prises depuis s = — a jusqu'à s = a.

Si l'on n'a d'autres données pour déterminer z qu'un événement observé, formé des mêmes événements simples, en nommant Q la probabilité de cet événement, /> + s et i ~p — z étant les probabilités des événements simples, l'expression précédente donne, en y changeant f en Q, pour la probabilité de l'événement composé,

/Qdz ■

les intégrales étant prises ici depuis s = — p jusqu'à z = i — p; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le Cbapitre précédent.