LIVRE IL
quent, est égale k
(i) — /c/mc'W=^|ci*«^V=T' ^^^ ^^^
an
«4-.. -^9/^-')c--^«'V^lr
Tintëgrale étant prise depuis tr = — w jusqu'à o = x.
Si Ton prend dans cette intégrale le logarithme hyperbolique de la quantité sous le signe /, élevée à la puissance n, on aura, en développant les exponentielles en séries, ce logarithme égal à
(i) niiw s/'^i -¥- n logy'<f (^^j -ms/--! 4-...J;
le signe / se rapportant ici a toutes les valeurs de œ, depuis x = o jusqu'à x = a. Si l'on fait - = x\ et si l'on observe que, la variation de X étant l'unité, on a a dx'= i , on aura
les intégrales relatives à x' étant prises depuis x'= o jusqu'à x'=i i. Nommons k, k\ h!\ ... ces intégrales successives; la probabilité que la durée de la vie d'un enfant sera comprise dans les limites zéro et a est
/? ( - j ou afdx'<f{x'); or cette probabilité est la certitude elle-même;
on a donc ak = i. Cela posé, la fonction {2) devient
ou
fnu nk'\ , —
a*Bj»—
2*2 couvres de L. — VU. 53
Si Ton fait
k ak
la première puissance de xs disparaît, et de plus, n étant supposé un très grand nombre, on peut s'arrêter à la seconde puissance de xs\ la fonction (i) devient ainsi, en repassant des logarithmes aux nombres.
— Jamc '*
Si Ton fait
-2^ Jfl awy/n g/y/^i
cette intégrale devient, en la prenant depuis / = — « jusqu'à / = cac ,
En la multipliant par cU, et faisant /= aryjn^ on aura
pour la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants parviendront sera comprise dans les limites na^fdt arsjn.
La quantité a^kf ou /<2?f (-) est la somme des produits de chaque
âge par la probabilité d'y parvenir; elle est donc la vraie durée de la vie moyenne; ainsi la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants cesseront de vivre, divisée par leur nombre, est comprise dans ces limites
or Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins -p>
a pour expression
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