LIVRE II. 4i

La valeur moyenne de r, en plus ou en moins» est, par le n^ 20,

l'intégrale étant prise depuis r = o jusqu'à r infini. En la multipliant

par ^y on aura Terreur moyenne à craindre en plus ou en moins, lors- V'*

qu'on prend pour durée moyenne de la vie la somme des âges qu'ont vécu les n enfants considérés ci-dessus, divisée par n, quotient que nous désignerons par G; cette erreur est donc

On a, à très peu près,

et, comme ai = i, on aura

26 v^/lTT

Si l'on nomme ensuite H la somme des carrés des âges qu'ont vécu les n enfants, divisée par n, on trouvera, par l'analyse du n" 19,

ces valeurs donnent

ni

l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur la durée de la vie devient ainsi

Il est clair que ces résultats ont également lieu relativement à la durée moyenne de ce qui reste à vivre, lorsque, au lieu de partir de l'époque de la naissance, on part d'une époque quelconque de la vie.

On peut facilement déterminer, au moyen des Tables de mortalité, formées d'année en année, la durée moyenne de ce qui reste à vivre à

tôO THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

une personne dont l'âge est d'un nombre entier A d'années. Pour cela, on ajoutera tous les nombres de la Table qui suivent celui qui correspond à l'âge A; on divisera la somme par ce dernier nombre, et l'on ajoutera { au quotient. En effet, si l'on désigne par (i), (2), (3), ... les nombres de la Table, correspondants à l'année A et aux années suivantes, le nombre des individus qui meurent dans la première année, a partir de l'année A, sera (1) — (2); mais, dans ce court intervalle, la mortalité peut être supposée constante; ^[(i) — (2)] est donc la somme des durées de leur vie, à partir de l'âge A. Pareillement

IK^) "~ (3)]» f[(3) — (^)]» ••• ^^^^ '^^ sommes des durées de la vie, à partir du même âge, de ceux qui meurent dans les deuxième, troisième, etc., années comptées depuis l'année A. La réunion de toutes

ces sommes est — -+- (2) + (3) + (4) -*-...; et, en la divisant par (i),

oti aura la durée moyenne de ce qui reste à vivre à la personne de Tàge A. On formera ainsi une Table des durées moyennes de ce qui reste à vivre aux différents âges. On pourra même conclure ces durées les unes des autres, en observant que, si F désigne cette durée pour Tàge A, et F' la durée correspondante à l'âge A -h i , on a

F=V^(F-+-i)-hi.

36. Déterminons maintenant la durée moyenne de ia vie qui aurait lieu, si l'une des causes de mortalité venait à s'éteindre. Soit U le nombre des enfants qui, sur le nombre n de naissances, vivraient encore à l'âge 07 dans cette hypothèse, u étant celui des enfants vivants à cet âge sur le même nombre de naissances, dans le cas où cette cause de mortalité subsiste. Nommons zAx la probabilité qu'un individu de Tàge X périra de cette maladie dans l'intervalle de temps très court Ao;; uz Ao? sera, à très peu près, par le n^ 25, le nombre des individus u qui périront de cette maladie dans l'intervalle de temps Aor, si ce nombre est considérable. Pareillement, si l'on désigne par f Ao; la probabilité qu'un individu de l'âge a: périra par les autres causes de mortalité dans l'intervalle Ao?, uffàx sera le nombre des individus qui périront