DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES A UNE VARIABLE

S. Soit^xUne fonction quelconque de x; si Ton forme la suite infinie

on peut toujours concevoir une fonction de t qui, développée suivant les puissances de /, donne cette suite : cette fonction est ce que je nomme/onction génératrice de yj;.

La fonction génératrice d'une variable quelconque j^^? ^st donc généralement une fonction de ^ qui, développée suivant les puissances de^ a cette variable pour coefficient de /*; et réciproquement, la variable correspondante d'une fonction génératrice est le coefficient de t^ dans I® développement de cette fonction suivant les puissances de /; en sorte 9^e l'exposant de la puissance de t indique le rang que la variable j^ ^cupe dans la série, que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment h Souche, relativement aux puissances négatives de t.

1 1 suit de ces définitions que, u étant la fonction génératrice de j^.,

^l^le de y^^r ©st p5 car il est visible que le coefficient de t"^ dans - est

^^ 1 à celui de z*"^ dans u; par conséquent il est égal à y^+r-

H.e coefficient de t* dans " (7 — i ) est donc égal à J;r^.| —y^f ou à la

"^fiférence des deux quantités consécutives y^r^, ety^, différence que ^^^tjs désignerons par Ajj., A étant la caractéristique des différences "'^ îes. On a donc la fonction génératrice de la différence finie d'une

^^^antité variable, en multipliant par j— i la fonction génératrice de

la quantité elle-même. La fonction génératrice de la différence finie deAj^différcnee que l'on désigne par A*j,, est ainsi " (7 — ') î felle deladifrérencefiniedeii'^a..ouA'^„est«lT— i) . d'où l'on peut généralement conclure que la fonction génératrice de la différence finie A'^,

,.St«(j-i)'.

Pareillement, le coefficient de r* dans le développement de

on nommant donc ^y^ celte quantité, sa fonction génératrice sera ( b c q\

Si l'on nomme v'^X* ce que devient v^a lorsqu'on y change /^ dans vj'^r*. si l'on nomme pareillement v'/* ce que devient v'j«- lorsqu'on y change v/t dans vV" ^^ ^i"^' ^^ suite, leurs fonctions génératrices correspondantes seront

=-..-iV.

et généralement la fonction génératrice de v'/* sera