LIVRE PREMIER

sente une fonction quelconque linéaire, finie ou infinie, de ^y^., v^^,, Yx^v "-î ^"® V*Ja^ soit ce que devient vy* lorsqu'on y change j^r dans V/xî 1^^ ^^Xx soit ce que devient ^'^y^ lorsqu'on y change vy* dans ^«y,, et ainsi de suite ; u étant la fonction génératrice de^-^, us^ sera la fonction génératrice de v'^x» ^ étant ce que devient sy^^ lorsqu'on y

change Vx dans l'unité, j;p+., dans t» j^+a dans — i Cela est encore

vrailorsque i est un nombre négatif ou même fractionnaire et incommensurable, en faisant toutefois à ce résultat des modifications convenables.

Représentons par 2 la caractéristique des intégrales finies, et nommons 2 la fonction génératrice de 2'^^., u étant la fonction génératrice

| — Tj sera, par ce qui précède, la fonction génératrice

Je)',. Mais cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives de U se réduire a u, qui ne renferme que des puissances positives de/, si Ton n*étend l'intégrale multiple ^lyx qu'aux valeurs positives de x; on aura donc alors

Il y ABC F

foù Ton tire

A»B,C, ..., F étant des constantes arbitraires qui répondent aux / constantes arbitraires qu'introduisent les 1 intégrations successives Je 1% En faisant abstraction de ces constantes, la fonction génératrice de

2*7*cstM(j — M ; ^ïï sorte que l'on obtient cette fonction généra-

tnceen changeant i dans — i dans la fonction génératrice de A'^j.; ^"%est donc alors égale à i^y^^ c'est-à-dire que les diflerences négatives se changent en intégrales. Mais, si l'on a égard aux constantes

arbitraires, il faut, en passant des puissances positives de - — i à ses

ABC puissances négatives, augmenter u de la série y + y^ + tj -^ • . • » prolongée ju8qu'à ce que le nombre de ses termes soit égal à l'exposant

<>Bri« À L. . Tll. 2

de ces puissances. On peut appliquer des considérations semblables à la fonction génératrice de v' Jar-

On voit par ce qui précède de quelle manière les fonctions génératrices se forment de la loi des variables correspondantes. Voyons maintenant comment les variables se déduisent de leurs fonctions génératrices; s étant une fonction quelconque de j* si l'on développe i'

suivant les puissances de -^9 et que Ton désigne par — un terme quelconque de ce développement, le coefficient de f dans -^ sera iy^+K'^

on aura donc le coefficient de f dans us'^ coefficient que nous avons désigné précédemment par y' J» * *** en substituant dans 5, y^. au lieu

de j ; 2^ en développant ce que devient alors s' suivant les puissances

de y^f et en transportant à l'indice x l'exposant de la puissance de/,, c'est-à-dire en écrivant j^p^», au lieu de [y^Yf yx'^2 ^^ lieu de {y^Yf etc., et en multipliant les termes indépendants de y^gf et qui peuvent être censés avoir {y^y pour facteur, par ja;« Lorsque la caractéristique v se change en A, s est, par ce qui précède, égal à - ~ i; on a donc alors

A'jo: = /x44 — «/x+i-l -H -^ Xx+i-2 —

Si, au lieu de développer 5' suivant les puissances de jf on le développe suivant les puissances de j — i , et que l'on désigne par k(j — lYun terme quelconque de ce développement, le coefficient

de t' dans iu(j — i j sera iàf'yx; on aura donc v'jo? * i® en substituant, dans 5, Aj;r au lieu de - — i, ou, ce qui revient au même,

I -f- Ayj. au lieu de j; 2** en développant ce que devient alors 5* suivant les puissances de A/^, et en appliquant à la caractéristique A les exposants des puissances de A j^rt c'est-à-dire en écrivant Aj^? au lieu de (Aj^)*, A^j<p au lieu de (Aj^p)*, etc., et en multipliant par (Aj^.)*, ou, ce qui est la même chose, par j^ les termes indépendants de ày^.

Généralement, si Ton considère s comme une fonction de r, r étant

une fonction de -i telle que le coefficient de tj. dans ur soit Djf » on

aura V%» en substituant, dans 5, nVx» au lieu de r; en développant ensuite s' suivant les puissances de njx ^t en appliquant à la caractéristique D les exposants de Dy*» c'est-à-dire en écrivant n^* an lieu de ÏDVx)» 0*7* au lieu de (Gj^r)*» etc., et en multipliant par y^^ les lermes indépendants de D jx-

Le développement de v' Va- par une série ordonnée suivant les varialions successives Dyxf O^yxf etc., se réduit donc a la formation de la fonction génératrice de j^^, au développement de cette fonction suivant les puissances d'une fonction donnée; enfm, au retour de la fonction génératrice ainsi développée, aux coefficients variables correspondants, les exposants des puissances du développement de la fonction génératrice devenant ceux de la caractéristique de ces coefficients. On voit ainsi l'analogie des puissances avec les différences, ou avec toute autre combinaison des coefiicients variables consécutifs. Le passage de ces coefficients à leurs fonctions génératrices, et le retour de ces fonctions développées aux coefficients constituent le Calcul des fondions génémtrices. Les applications suivantes en feront connaître l'esprit et les avantages.

Df l'mieFpolaiion des suites à une variable^ et de l'intégiution

des équations différentielles linéaires.

3. Toute la théorie de l'interpolation des suites se réduit à (lét<»r- "îiner, quel que soit 1, la valeur de y^^., en fonction des termes qui précèdent ou qui suivent yj^* Pour cela, on doit observer que y^;,./ est ^1 su coefficient de /ar+i^ansle développement de w, et par consé-

quentégalau coefficient de /' dans le développement de -^^ or on a . , , V |--(7-)-'^'(7-')'(

Déplus, le coefficient de i-*, dans le développement de u, est^y,; ce coefficient dans le développement de "(7 — ') pst \yy, dans le déveioppcment de u ( y — [ I , il est égal à à'y,, et ainsi de suite ; l'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices

aux coefficients.

Cette équation, ayant lieu quel que soit 1, en le supposant même fractionnaire, sert à interpoler les suites dont les diETérences successives vont en décroissant.

Si l'on a l'équation aux difierences finies

S^'Xx = o ,

la série précédente se termine, et l'on a, quel que soit (', en faisant ■r nul,

iii — i] ■■'■■ -< 1: - ■ -1

C'est l'intégrale complète de l'équation proposée aux différences, y,. A/,, . . . , ^"'* y^ étant les n constantes arbitraires de cette intégrale.

Toutes les manières de développer la puissance -- donnent autant

de manières différentes d'interpoler les suites. Soit, par exemple.

en développant ^ suivant les puissances de k, par la formule [p) du n" 21 du second livre de la Mécanique céleste, on aura