CHAPITRE X

DE l'espérance morale.

41. On a vu, dans le n° 2, la différence qui existe entre l'espérance mathématique et l'espérance morale. L'espérance mathématique résultante de l'attente probable d'un ou de plusieurs biens étant le produit de ces biens par la probabilité de les obtenir, elle peut être évaluée par l'analyse exposée dans ce qui précède. L'espérance morale se règle sur mille circonstances qu'il est presque impossible de bien évaluer. Mais nous avons donné dans le numéro cité un principe qui, s'appliquant aux cas les plus communs, conduit à des résultats souvent utiles, et dont nous allons développer les principaux.

D'après ce principe, x étant la fortune physique d'un individu, l'accroissement dx qu'elle reçoit produit à l'individu un bien moral réciproque à cette fortune; l'accroissement de sa fortune morale peut

donc être exprimé par > k étant une constante. Ainsi, en dési-

gnant par j^ la fortune morale correspondante à la fortune physique x^

on aura

jr=k logx + logA,

h étant une constante arbitraire que l'on déterminera au moyen d'une valeur de y correspondante à une valeur donnée de x. Sur cela, nous observerons que l'on ne peut jamais supposer x et y nuls ou négatifs dans l'ordre naturel des choses; car l'homme qui ne possède rien regarde son existence comme un bien moral qui peut être comparé à l'avantage que lui procurerait une fortune physique dont il est bien

Œuvres de L. -^ VII. 56

kk^ THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

difficile (l^assigner la valeur, mais que Ton ne peut fixer au-dessous de ce qui lui serait rigoureusement nécessaire pour exister; car on conçoit qu'il ne consentirait point à recevoir une somme modique, telle que cent francs, avec la condition de ne prétendre à rien, lorsqu'il l'aurait dépensée.

Supposons maintenant que la fortune physique d'un individu soit a, et qu'il lui survienne l'expectative d'un des accroissements a,ê,y, .... ces quantités pouvant être nulles ou même négatives, ce qui change les accroissements en diminutions. Représentons par />, y, r, ... les probabilités respectives de ces accroissements, la somme de ces prohabilités étant supposée égale à l'unité. I^s fortunes morales correspondantes de l'individu pourront être

k Iog[fl -H a) -4- logA, k \og[a -h 6) H- logA, k \o%[a -4- y) -4- log/i,

En multipliant ces fortunes respectivement par leurs probabilités p, q, r, . . ., la somme de leurs produits sera la fortune morale de l'individu en vertu de son expectative; en nommant donc Y cette fortune, on aura

Y== kp Iog(a -h a) + kq log(a 4- 6) -h Arr Iog(a-4- y) 4-. . . + log/i.

Soit X la fortune physique qui correspond à cette fortune morale, on

aura

Y = A-logX4-logA.

La comparaison de ces deux valeurs de Y donne

Si l'on retranche la fortune primitive a de cette valeur de X, la différence sera l'accroissement de la fortune physique qui procurerait k l'individu le même avantage moral qui résulte pour lui de son expectative. Cette différence est donc l'expression de cet avantage, au lieu que l'avantage mathématique a pour expression

/7a-+- 76 -\- ry -^

De là résultent plusieurs conséquences importantes. L'une d'elles est que le jeu mathématiquement le plus égal est toujours désavantageux. En eflet, si l'on désigne par a la fortune physique du joueur avant de commencer le jeu; par p sa probabilité de gagner, et par fi sa mise, celle de son adversalie doit être, pour l'égalité du jeu, '-' ~-^"'; ainsi le joueur gagnant la partie, sa fortune physique devient a + — ^(a,

et la probabilité de cela est p. S'il perd la partie, sa fortune physique devient « — (t, et la probabilité de cela est ' — p; en nommant donc X sa fortune physique, en vertu de son expectative, on aura, par ce qui précède,

or cette quantité est plus petite que a, c'est-à-dire que l'on a ou, en prenant les logarithmes hyperboliques,

Le premier membre de cette équation peut être mis sous la forme

quantité qui est évidemment négative.

Il résulte encore de l'analyse précédente qu'il vaut mieux exposer sa fortune par parties à des dangers indépendants les uns des autres, que de l'exposer tout entière au même danger. Pour le faire voir, supposons qu'un négociant, ayant à faire venir par mer tiiic somme i- l'pv. pose sur un seul vaisseau, etque l'observiition ail fait connatf habilité p de l'arrivée d'un vaisseau du même genre d' l'avantage mathématique du négociant, résullant de si

kkk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

sera/?6. Mais, si l'on représente par l'unité sa fortune physique, indépendamment de son expectative, sa fortune morale sera, par ce qui

précède,

Ifp log(i + £) H- logA,

et son avantage moral sera, en vertu de son expectative,

(i-f-e)/» — I, quantité plus petite que pt; car on a

puisque log(i -4- lY ou p log(i-4- e) est moindre que log(i-h/?£), ce qui est évident, lorsqu'on met ces deux logarithmes sous les formes

J i4-e J i-¥ pt

Supposons maintenant que le négociant expose la somme e, par parties égales, sur r vaisseaux. Sa fortune physique deviendra i -h s, si tous les vaisseaux arrivent, et la probabilité de cet événement estyy. Si r — I vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient

i-f- '^"^ > et la probabilité de cet événement est rp^^*{i—p).

Si r— a vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient

«, et la probabilité de cet événement est P^'^i^ — pY^

et ainsi de suite; la fortune morale du négociant est donc, par ce qui précède,

/?''log(n-6)4-r/i'-«(i— /i) logfiH- ^-^ i\ kl , . , \ / "^ '^S*'

expression que l'on peut mettre sous cette forme

[a] hp jde