LIVRE II. U

gociant lorsqu'il expose la somme & sur un seul vaisseau, et que Ton obtient en faisant r= i dans la précédente, ce qui, abstraction faite de

logA, réduit celle-ci bl kp 1 — ^ qui est égal à

la différence sera

— I r — 1 e iH e

cette différence étant positive, on voit qu'il y a moralement de l'avantage à partager la somme e sur plusieurs vaisseaux. Cet avantage s'accroît à mesure que l'on augmente le nombre r des vaisseaux, et, si ce nombre est très grand, l'avantage moral devient à peu près égal à l'avantage mathématique.

Pour le faire voir, reprenons la formule (a) et donnons-lui cette forme

kpffdxdtc^^ ''''\pc ''-hi—p) H-Iog/i,

l'intégrale relative à x étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Dans cet intervalle, le coefficient de dx sous les signes // n'a ni maximum ni minimum ; car sa différentielle prise par rapport à x est

cette différentielle est constamment négative depuis x = o jusqu'à J7 infini; ainsi le coefficient lui-même diminue constamment dans cet intervalle. C'est donc ici le cas de faire usage de la formule (A) du n**22 du Livre I**", pour avoir, par une approximation convergente, l'intégrale fydx, y étant égal à

c ^ ''' \pc '' -hi — pj

La quantité que nous avons nommée f^ dans le numéro cité devient alors

jrdx pc '' -hi — p

ce qui donne

p{i-he)c '• -^(I-^)^I-hf^

Ur:

dx

U, ^> ••• étant ce que deviennent r, ^» •••> lorsque x est nul. Cela posé, la formule (A) citée donnera

/rfjrc ^ "-^ \pc '' ^i-p)

La formule {a') devient ainsi, à très peu près, lorsque r est un grand nombre,

A* / -^— - -+-IogA

ou

k Iog{i -+-/>€) H-logA.

Maintenant soit X la fortune physique correspondante à cette fortune morale; on a, par ce qui précède,

A-IogX + logA,

pour la fortune morale correspondante à X; en comparant donc ces deux expressions, on aura

Dans ce cas, l'avantage moral est pi\ il est donc égal à l'avantage mathématique.

Souvent l'avantage moral des individus est augmenté par le moyen des caisses d'assurance, en même temps que ces caisses produisent aux assureurs un bénéflce certain. Supposons, par exemple, qu'un négociant ait une partie t de sa fortune sur un vaisseau dont la prohabilité de l'arrivée est p, et qu'il assure cette partie, en donnant une somme à la compagnie d'assurance. Pour l'égalité parfaite entre les sorts mathématiques de la compagnie et du négociant, celui-ci doit donner (i — p)i pour prix de l'assurance. En représentant par l'unité la fortune du négociant, indépendamment de son expectative e, sa fortune morale sera, par ce qui précède,

kp log(i -i- e) -H logA,

dans le cas où il n'assure pas, et dans le cas où il assure, elle sera

k )og(i + />;) 4-!og/i; or on a

l0g(H-/>€)>/>lOg(l + î)

ou, ce qui revient au même,

/7 étant moindre que l'unité; la fortune morale du négociant est donc augmentée, au moyen de son assurance. Il peut ainsi faire à la compagnie d'assurance un sacrifice propre à subvenir aux frais de l'établissement et au bénéfice qu'elle doit faire. Si l'on nomme k ce sacrifice, c'est-à-dire si l'on suppose que le négociant donne à la compagnie, pour prix de son assurance, la somme (i — p)t + %, on aura, dans le cas de l'égalité des fortunes morales, lorsque le négociant assure, et lorsqu'il n'assure point,

log(i — a -> /it, = /> lop'' ^^

ce qui donne '^■

kiS THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

C'est tout ce que le négociant peut donner à la compagnie, sans désavantage moral ; il aura donc un avantage moral, en faisant un sacrifice moindre que cette valeur de a, et en même temps, la compagnie aura un bénéfice qui, comme on l'a vu, devient certain, quand ses relations sont très nombreuses. On voit par là comment des établissements de ce genre, bien conçus et sagement administrés, peuvent s'assurer un bénéfice réel, en procurant des avantages aux personnes qui traitent avec eux. C'est en général le but de tous les échanges; mais ici, par une combinaison particulière, l'échange a lieu entre deux objets de même nature, dont l'un n'est que probable, tandis que l'autre est certain.

42. Le principe dont nous venons de faire usage pour calculer l'espérance morale a été proposé par Daniel BernouUi, pour expliquer la différence entre le résultat du Calcul des Probabilités et l'indication du sens commun dans le problème suivant. Deux joueurs A et B jouent k croix et pile, avec la condition que A paye à B deux francs, si croir arrive au premier coup; quatre francs, s'il arrive au deuxième coup; huit francs s'il arrive au troisième coup, et ainsi de suite jusqu'au n''°** coup. On demande ce que B doit donner à A en commençant le jeu.

Il est visible que l'avantage de B, relatif au premier coup, est un franc; car il a ^ de probabilité de gagner deux francs à ce coup. Son avantage relatif au deuxième coup est pareillement un franc; car il a ~ de probabilité de gagner quatre francs à ce coup, et ainsi de suite, en sorte que la somme de tous ses avantages relatifs aux n coups est n francs. Il doit donc, pour l'égalité mathématique du jeu, donner à A cette somme qui devient infinie, si l'on suppose que le jeu continue à l'infini.

Cependant personne, à ce jeu, ne risquera avec prudence une somme même assez modique, telle que cent francs. Pour peu que l'on réfléchisse à cette espèce de contradiction entre le calcul, et ce qu'indique le sens commun, on voit facilement qu'elle tient k ce que, si l'on suppose, par exemple, n = 5o, ce qui donne 2*® pour la somme que B peut espérer au cinquantième coup, cette somme immense ne produit point

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