LIVRE 11. M

47. -Considérons les témoignages simultanés : supposons deux témoins d'accord sur un Tait, et déterminons sa probabilité. Pour fixer les idées, supposons que le Tait soit l'extraction du n° i d'une urne qui en renferme le nombre n, en sorte que l'événement observé soit l'accord de deux témoins du tirage à énoncer la sortie du n" t. Nommons p elp" leurs véracités respectives, et supposons, pour simplifier, qu'ils ne se trompent point. Cela posé, on ne peut former que ces deux hypothèses : les témoins disent la vérité; les témoins trompent.

Dans la première hypothèse, le n" i est sorti, et la probabilité de cet

événement est - • En la multipliant par le produit des véracités p et p'

des témoins, on aura ~ pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse.

Dans la seconde, le n" i n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est — — ; mais les deux témoins s'accordent à choisir le n" i n

parmi les n — i numéros non sortis. Or le nombre des combinaisons difTérentes qui peuvent résulter de leur choix est (n — i]*, et dans ce nombre ils doivent choisir celle où le a? i est combiné avec lui-même ; la probabilité de ce choix est donc . — :^^- En la multipliant par la probabilité précédente ~^^ < et par les produits des probabilités i — p et I — /)' que les témoins trompent, on aura ■ ~ j ~^ pour la probabilité de l'événement observé, dans la seconde hypothèse.

Maintenant, on aura la probabilité de la sortie du n" i en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; on aura donc, pour cette probabilité,

Si n =t 2, alors la sortie du n" ( est aussi probable que a

k6k THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

et la probabilité de sa sortie, résultante de Taccord des témoignages, est

pp'

pp" + [i - p) (i - p')

C'est généralement la probabilité d'un fait attesté par deux témoins,

lorsque l'existence du fait est aussi probable que sa non-existence. Si

les deux témoins sont également véridiques, ce qui donne p^ = p, cette

probabilité devient

En général, si un nombre r de témoins également véridiques affirme l'existence d'un fait de ce genre, sa probabilité résultante des témoignages sera

Mais cette formule n'est applicable qu'au cas où l'existence du fait et sa non-existence sont en elles-mêmes également probables.

Si le nombre n des numéros de l'urne est très grand, la formule (o) devient à très peu près l'unité, et par conséquent la sortie du n® i est extrêmement probable. Gela tient à ce qu'il est très peu vraisemblable que les témoins, voulant tromper, s'accordent à énoncer le même numéro, lorsque l'urne en contient un grand nombre. Le simple bon sens indique ce résultat du calcul; mais on voit en même temps que la probabilité de la sortie du n^i est beaucoup diminuée, si les deux témoins, cherchant à tromper, ont pu s'entendre.

Supposons maintenant que le premier témoin aflirme la sortie du n° î, et que le second témoin affirme la sortie du n®i'. On peut former alors les trois hypothèses suivantes : le premier témoin dit la vérité et le second trompe; dans ce cas le n^ i est sorti, et la probabilité de cet

événement est -; de plus, le second témoin, qui trompe, doit choisir

parmi les autres numéros non sortis le n^ f , et la probabilité de ce

choix est -^-^ Le produit de ces deux probabilités par le produit des