LIVRE II. k

probabilités pet i —p\ que le premier témoin ne trompe pas et que le second trompe, sera la probabilité de l'événement observé ou de renonciation de la sortie des n®* i et i\ dans cette hypothèse, probabilité qui est ainsi ^, "~ ^ ! -

Dans la seconde hypothèse, le premier témoin trompe et le second ne trompe pas. Alors le Vi^i est sorti, et la probabilité de cet événement

est - • De plus, le premier témoin choisit le n** i sur les /i — i numéros non sortis, et la probabilité de ce choix est —:::;—• En multipliant le

produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités i —- p et p\ que le premier témoin trompe et que le second ne trompe pas,

on aura ^—, — ^-^ •

Enfin, dans la troisième hypothèse, les deux témoins trompent à la fois. Alors aucun des deux numéros i et i n'est sorti. La probabilité de

cet événement est '~~ • De plus, le premier témoin doit choisir le n® /, et le second doit choisir le n*^ i^ parmi les n ~ i numéros non sortis, et la probabilité de cet événement composé est ^ — irTi* En multipliant le produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités I — ^ et I — />' que le premier et le second témoin trompent, on

aura )l'-~"PH'~P/ pour \^ probabilité de l'événement observé,

dans cette hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du n® i, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux trois hypothèses; la probabilité de cette sortie est donc

Si n = 2, c'est-à-dire si l'existence de chaque fait attesté par les deux témoins est a priori aussi probable que sa non-existence, alors la pro-

ORwret de L. — VU. 59

habilité précédente devient >« lorsque p=p\ ce qui est visible d'ailleurs, les deux témoignages se détruisant réciproquement. En général, si un fait de ce genre est attesté par r témoins et nié par / témoins, tous également véridiques, il est facile de voir que sa prohabilité sera

c'est-à-dire la même que si le fait était attesté par r— /^témoins.

48. Considérons présentement une chaîne traditionnelle de r témoins, et supposons que le fait transmis soit la sortie du n^ i d'une urne qui renferme n numéros. Désignons par y^ sa probabilité. L'addition d'un nouveau témoin changera cette probabilité en y,H-i» probabilité qui sera formée : i^ du produit de j'r P^r 1^ véracité du nouveau témoin, véracité que nous désignerons par pr^^\ a^ du produit de la probabilité i — pr^^ que ce nouveau témoin trompe, par la probabilité I --7^ que le témoin précédent n'a pas dit la vérité, et par la probabilité que le nouveau témoin choisira le numéro sorti, dans le

nombre des rt'-'i numéros autres que celui qui lui a été indiqué par le témoin précédent; on aura donc

équation dont l'intégrale est

" . p(n/y< — i)(npa — i)...(npr~i) •^ n (n — iY

C étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, on observera que la probabilité du fait, d'après le premier témoignage, est, par ce qui

précède, égale à />,; on a donc y^ = p^^ ce qui donne C = --^^^; partant

i nj- i (ly, — 1) (n/ia - i) . ■ . [npr— Q

Si n est infini, on a

Si n = 2, c'est-à-dire si l'existence du fait est aussi probable que sa non-existence, on a

En général, à mesure que la chaîne traditionnelle se prolonge, yr

approche indéfiniment de sa limite -> limite qui est la probabilité,

a priori, de la sortie du n° i. Le terme --^^ "P' — ' . .. jg l'expression

de y-r est donc ce que la chaîne des témoins ajoute à cette probabilité. On voit ainsi comment la probabilité s'affaiblit à niesure que la tradition se prolonge. A la vérité, les monuments, l'imprimerie et d'autres causes peuvent diminuer cet effet inévitable du temps; mais ils ne peuvent jamais entièrement le détruire.

Si l'on a deux chaînes traditionnelles, chacune de r témoins, si l'on suppose les témoins de ces chaînes également véridiques et si le dernier témoin de l'une des chaînes s'accorde avec le dernier de l'autre à atlirnier la sortie du n" i, on aura la probabilité de cette sortie, en substituant yr pour p et p' dans la formule (o) du numéro précédent, qui devient par là

(■-rr)'

49. Considérons deux témoins dont^ elp' soient les véracités respectives. On sait que tous deux ou du moins l'un d'eux, sans être contredit par l'autre qui, dans ce cas, n'a point prononcé, affirment que le n'' t'est sorti d'une urne qui en renferme le nombre n. En supposant toujours qu'iHi n'a exliait qu'un seul numéro, un demande la probabilité de la sortie du n" i.

Soient r et r'Ies probabililés respeci' -îent.

On ne peut faire ici que tes quatn l^jt

témoins prononcent cl disent la vfl (

et trompent; 3^ l'un des témoins prononce et dit la vérité, et l'autre témoin ne prononce pas; 4^ l'un des témoins prononce et trompe, et

1'<iiiti»o no nrAnAn/«A v\nînf

l'autre ne prononce point

utre ne prononce point.

Dans la première hypothèse, le n® i est sorti, et la probabilité de cet

énement est -• Il faut la multiplier par le produit des probabilités r

et r* que les deux témoins ont prononcé, et par le produit des probabilités p et p' qu'ils disent la vérité; on aura ainsi

pp\rti' n

pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse. Dans la deuxième, le n^ i n'est pas sorti, et la probabilité de cet évé-

nement est * Mais, si les deux témoins trompent sans s'entendre,

la probabilité qu'ils s'accorderont à énoncer le même n*^ i est -. — ~^'

Il faut multiplier le produit de ces probabilités par la probabilité //que les deux témoins prononcent à la fois, et par la probabilité (i -'p){i —p') qu'ils trompent tous deux. On aura ainsi

pour la probabilité de l'événement observé, dans la deuxième hypothèse.

Dans la troisième, le n^i est sorti, et la probabilité de cet événement

est -• Il faut la multiplier par la probabilité /^(i — r') •^p'r'{i — r)

que l'un des témoins pronoi>ce en disant la vérité, tandis que l'autre témoin ne prononce point. On aura ainsi

pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Enfin, dans la quatrième, le n^ i n'est pas sorti, et la probabilité de

cet événement est ~~~; mais le témoin qui trompe doit le choisir

dans les n — t numéros non sortis, et la probabilité de ce choix est

—^ — It faut multiplier le produit de ces probabilités parla probabilité

(i — />)''(i — /) + (i — /ï')r'(i — r) que l'un des témoins prononçant trompe, tandis que l'autre témoin ne prononce point. On a ainsi

pour la probabilité correspondante à la quatrième hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du a" i, en divisant la somme des probabilités relatives à la première et à la troisième hypothèse par la somme des probabilités relatives à toutes les hypothèses, ce qui donne, pour cette probabilité,

pp'rr--t-pr{i-i']A-p'r'{t

ppi'.n'+ r(i— r') + /(i— r) H

^p)[,-p']rr'

Ces exemples indiquent suffisamment la méthode d'assujettir au calcul des probabilités les témoignages.

50. On peut assimiler le jugement d'un tribunal qui prononce entre deux opinions contradictoires au résultat des témoignages de plusieurs témoins de Textraction d'un numéro d'une urne qui ne contient que deux numéros. En exprimant par p la probabilité que le juge prononce la vérité, la probabilité de la bonté d'un jugement rendu à Punanimité sera, par ce qui précède,

pr + i^-pY'

r étant le nombre des juges. On peutdéterminer/> par l'observation du rapport des jugements rendus à l'unanimité par le tribunal au nombre total des jugements. Lorsque ce nombre est très gi';<n<l, un le ilôiii£rn:ii)t par n, et par i le nombre des jugements rendus h l'iiiinnimité,

k fort peu près

la résolution de cette équation donnera la véracité p des juges. Cette équation se réduit à un degré de moitié moindre, en faisant/)=i+v^. Elle devient alors

équation qui, développée, est du degré - ou » suivant que r est

pair ou impair.

La probabilité de la bonté d'un nouveau jugement rendu à l'unanimité sera

Si Ton suppose le tribunal formé de trois juges, on aura

Nous adopterons le signe +; car il est naturel de supposer à chaque juge une plus grande probabilité pour la vérité que pour Terreur. Si la moitié des jugements rendus par le tribunal a été rendue à Tunanimité,

alors - = -» et Ton trouve /» = 0,789. La probabilité d'un nouveau

jugement rendu à l'unanimité sera 0,981. Si ce jugement n'est rendu qu'à la pluralité, sa probabilité sera p ou 0,789.

En général, on voit que la probabilité i r(i —pY de la bonté d'un

nouveau jugement rendu à l'unanimité est d'autant plus grande que r

est un plus grand nombre et que les valeurs de p et de - sont plus

grandes, ce qui dépend des lumières des juges. Il y a donc un grand avantage à former des tribunauiL d'appel, composés d'un grand nombre de juges choisis parmi les personnes les plus éclairées.

Nous avons intégré» par une approximation très convergente, dans le n® 34 du Livre P', l'équation aux différences finies

o = (n'H- 5 4- O/i+i — {» -H ^Ir*-

II est facile de conclure de notre analyse Texpression du rapport de la circonférence au rayon, en produits infinis, donnée par Wallis. En effet, cette analyse nous a conduit, dans le numéro cité, à l'expression générale

. . (n + |x)(wH-|X-i-l)...(n-+-J — l) fu^n-tn-^* rffi ( 1 — ti> )"^'-* ^^' (n'-^fi-h i) (n'-h fit 4- a) . . .(/l'-h s) "" fu^n'-%n^i du\i — tta)«-^l*-» '

les intégrales étant prises depuis u = o jusqu'à u = i. En faisant

d'abord /i'=o, n = ^ ^=i et observant que /rfa(i — a*)^= {x, TT étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura