T DD DU
Dans les équations de condition, Xi a été multiplié par =iz j ; le signe — ayant lieu si, pour former les équations finales, on a changé les signes de Téquation 1'^°''. De là il est facile de conclure que, si Ton désigne par s le nombre des équations de condition dans lesquelles les coefficients de j" et de y ont le même signe, on aura
Q M* - ^(Ri-R)^4-(n~i)(R,-hR)« °^'"" (PK,-P|R)^
On simplifiera le calcul en préparant les équations de condition de manière que dans toutes le coefficient de y ait le signe +. On formera ensuite une première équation finale en ajoutant les s équations dans lesquelles le coefficient dey a le signe +. On formera une seconde équation finale en ajoutant les /i — 5 équations dans lesquelles le coefficient de y a le signe — . Soient
ces deux équations. En multipliant la première par f ^* f et la se-
seconde par -^ — ^ - > on aura
et il est facile de voir que
Ces valeurs dey et de S M? coïncident avec les précédentes, comme il est aisé de le voir en observant que Ton a
Les équations de condition étant représentées généralement par la suivante
o = j:,- — ai -h pijr H- g//,
si on les multiplie respectivement par /7i|, /n,, ... et qu'on les ajoute, on aura l'équation finale
o z= S mixi — S miOi -+- j^ S m//>/ -h 7' S /n/g/ ;
si Ton multiplie ensuite les mêmes équations, respectivement par //,, /is, ..., on aura, en les ajoutant, l'équation finale
o = S mxi — S niai -h j^ S /i«7?/ H- j' S n/ g/.
En multipliant la première de ces équations par — —^ et la seconde
6 M, ' ft *
par 1-^-'» I étant égal à
S mipi S /iiÇi — S m pi S /Hi f /,
on aura
S m/fli S niÉTi — S n/a/ S /w/ ^/ S ntiXi S n/^/ — S mxi S /iti a/
Ce dernier terme est l'erreur de la valeur que l'on obtient pour 7, en
OMwres de L. — VII. 72
supposant nuls j:^i, X2^ ... : on a donc alors
d'où il est facile de conclure
en faisant
H — S m? (S /Il Çi)* — 2 Sm/w, Sm,giSn,-ç, -h Sn? (Sm/Çi)*,
résultat qui coïncide avec celui du n^ 21 du Livre II, dans lequel nous avons prouvé que le maximum du coefficient de —u^ dans cette exponentielle a lieu lorsque Ton suppose généralement mi = pi^ ni=^qi\ cette supposition donne donc le résultat le plus avantageux ou celui dont le poids est un maximum.
On déterminera la valeur de -p au moyen des carrés des restes qui
ont lieu lorsque Ton substitue dans les équations de condition les valeurs déterminées pourj^ et y. En désignant par e^ ce reste dans la jième équation de condition
o =^ X,- — ai -h ptx H- ?ï/, et désignant par u et u les erreurs de ces valeurs, on aura
o m xi + u — piu — qiu';
ce qui donne
Se? = So^"^' — 2tt S piXi-- 1U' SÇiTi-h U^ S />?-+- 2UU! S piÇi-h u'^ Sqf.
On a, par le n® 19 du Livre U,
ensuite, les valeurs u et u' cessent d*étre vraisemblables, lorsqu'elles surpassent des quantités de l'ordre --• Les valeurs de SpiX,- et SqiXi
cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles surpassent des quantités de
l'ordre ^n\ les valeurs de — 2uSpiXi et — !2£/'Sy,ar, cessent donc d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être d'un ordre fini, n étant supposé infiniment grand. Sp% SpiÇi et SyJ étant de l'ordre w, les valeurs de M* S/>f, auu'SpiÇi, u'^ SgrJ cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être des quantités finies. On peut donc négliger toutes ces quantités et supposer, quel que soit le procédé dont on fait usage.
Se? = -^1,
ce qui donne
2*^ 2 Se?
2. Les méthodes précédentes se réduisent à multiplier chaque équation de condition par un facteur et à ajouter tous ces produits pour former une équation finale. Mais on peut employer d'autres considérations pour obtenir le résultat cherché : par exemple, on peut choisir celle des équations de condition qui doit le plus approcher de la vérité. Le procédé que j'ai donné dans le n° 40 du Livre 111 de la Mécanique céleste est de ce genre. En supposant les équations [b) du numéro précédent préparées de manière que /i,, p^^ p^, ... soient positifs et que
les valeurs î?i, — , ... de j, données par ces équations dans la supposition de â?,, ^29 ••• nuls, forment une série décroissante, le procédé dont il s'agit consiste à choisir l'équation de condition H^', telle que Von ait
/>! -h ^2 -»- • . H- Pr-i <Cpr H- /V+i -4- . • • 4- />«, Pt-^ P2 -^" '-^ Pr > pri-l 4- Pr+2-+-' • -h pn,
et à supposer
Pr
Cette valeur de^ rend un minimum la somme de tous les écarts des autres valeurs, pris positivement; car, en nommant x^, x^f ... ces écarts, ^i, a?,, . . ., ^r^», seront positifs et x^^^, ^r+2f • • •» ^n seront négatifs. Si l'on accroît la valeur précédente de y de la quantité infini-
ment petite Sy, la somme des écarts positifs x^, x^, ...« x^^, diminuera de la quantité
mais la somme des écarts négatifs, pris avec le signe +, augmentera de la quantité
récart Xr deviendra Pr^y* La somme des écarts, pris tous positivement, sera donc augmentée de la quantité
par les conditions auxquelles le choix de Téqualion r*^^' est assujettie, celte quantité est positive. On verra, de la même manière, que si Ton
diminue -^ de Sy, la somme des écarts pris positivement sera augmen-
Pr
tée de- la quantité positive
Ainsi, dans les deux cas d'un accroissement et d*une diminution de la
valeur ^ dey^ la somme des écarts, pris positivement, est augmentée.
Cette considération semble donner un grand avantage à la valeur précédente deyf qui, lorsqu'il s*agit de choisir un milieu entre les résultats d*un nombre impair d'observations, devient le résultat équidistant des extrêmes. Mais le Calcul des probabilités peut seul faire apprécier cet avantage; je vais donc l'appliquer à cette question délicate.
Les seules données dont nous ferons usage sont que l'équation de condition
o = JTr — «r -4- pry
donne, abstraction faite des erreurs, une valeur de y plus petite que les r— I équations antérieures et plus grande que les n — r équations postérieures; et que l'on a
/?!-+- Pî 4- ... H- Pr- i< Pr -^ pr-^i -H . . . -^ ^n, p\'\- P2-^" •-\- Pr > Pr+I -+- Pr+% -h . . . -t- p».
On a
ce qui donne
â| J^i (Ir OCr ^
^ ~ P\ P^Pr Pr'
Pi Pi Pr Pr
Ainsi, — surpassant ~> — surpasse —• Uenestdemêmede ~> — > •••
P\ ^ Pr P\ ^ Pr Pi />3
jusqu'à ^^^. On verra de la même manière que ^^^, ^^^, ..., ^'
' ^ Pr-1 * Pr^\ pr+i pn
sont moindres que — • Ainsi, les seules conditions auxquelles nous
assujettirons les erreurs et les équations de condition sont les suivantes :
Xs Xr Xg Xr
— <—»—>—-; Ps Pr Ps Pr
Pi + P2 + . . . -H />r-i < />r -H pr+i 4- . . . -+- ^n, Pi-\- P2 -^'-^ Pr > /^r+l 4- /?r+2 -+-...+ /?«.
C'est uniquement d'après ces données des observations que nous allons déterminer la probabilité de l'erreur a?^. Nous n'aurons d'ailleurs aucun égard à Tordre qu'observent entre elles les r— i premières équations de condition et les n — r dernières, ni aux valeurs des quantités a^.
Représentons, comme ci-dessus, par (f{x) la loi de probabilité de l'erreur œ des observations et, pour exprimer que cette probabilité est la même pour les erreurs positives et négatives, supposons 9(07) (onction deœ^.
Maintenant, si l'on suppose x^ positif, la probabilité que x^ surpassera Pi — sera
^ Pr
Xr
l'intégrale fdxf^[x) étant prise depuis x=o jusqu'à ^=^/i|— et>t
Pr
étant, comme ci-dessus, cette intégrale prise depuis x nul jusqu'à x
57JI^ THÉORIE ANALYTIQUE DBS PROBABILITES.
infini. La probabilité que les quantités — > — » ...,^^^ seront toutes
plus grandes que -^ est donc proportionnelle au produit des r — i facteurs
fdxoix] fdxoix)
rintégrale du premier facteur étant prise depuis ;r = o jusqu'à r =/i, — ; rintégrale du second facteur étant prise depuis x=:o jusqu'à x — /ij, — ; et ainsi de suite.
Pr
Pareillement, toutes les quantités ^^» ^^> •••» — étant supposées
. plus petites que — > on voit, parle même raisonnement, que la probabilité de cette supposition est proportionnelle au produit des n — r facteurs
rintégrale du premier facteur étant prise depuis 07 = 0 jusqu'à x = pr+i — » celle du second facteur étant prise depuis x =^0 jusqu'à
Pr
.r =/i^^2~> et ainsi de suite. La probabilité de l'erreur Xr est ç(^r);
ainsi la probabilité que l'erreur de la r*'"* observation sera x^ et que la valeur de y donnée par la r»*"* équation sera plus petite que les valeurs données par les équations précédentes, et surpassera les valeurs données par les équations suivantes, cette probabilité, dis-je, sera proportionnelle au produit des n — i facteurs précédents et de ç(^r)- .r étant supposé très petit, on a, aux quantités près de l'ordre x',
/rfx<p(x) =^x 9(0) -+- AjT^ 9'(o),
ç'(o) étant ce que devient —V --- lorsque x est nul. Dans la question présente, <f{x) étant une fonction de a?', on a ç'(o) = o, et alors on a
fdx<f(x) =X9(o).
Les facteurs précédents deviendront ainsi, en faisant — = J^,
Si l'on désigne par (p''(o) la valeur de J^.^ lorsque x est nul, 9(rr) devient
La somme des logarithmes hyperboliques de tous ces facteurs est, aux quantités près de Tordre î', en divisant le facteur ?(^r) pa^* 9(«)»
— Ç — TT- ( />! -H pa H- . • . -+- Pr-i •— Pr-^i —-Pr^i — • • • — ^/i )
2 , ^2 , i «2 . „2 . , ni
La probabilité de ^ est donc proportionnelle à la basée des logarithmes hyperboliques, élevée à une puissance dont l'exposant est la fonction précédente. On doit observer qu'en vertu des conditions auxquelles le choix de l'équation r*^*°* est assujetti, la quantité
/>! -+- Pi -t- • • • 4- pr-i — Pr-f-i — Pr+2 — ... — p//
est, abstraction faite du signe, une quantité moindre que p^, et
qu'ainsi, en supposant ^ de l*ordre ~> le nombre n des observations étant supposé fort grand, le terme dépendant de la première puissance de !!^, dans la fonction précédente, est de Tordre 4=^ on peut
donc le négliger, ainsi que le dernier terme de cette fonction. En désignant donc par S/i? la somme entière
la probabilité de ^ sera proportionnelle à
^f 'a«.i* ji I ^r
2^ ou ~ étant Terreur de la valeur — donnée pour y par Téquation
^ième j^g valeur donnée par la méthode la plus avantageuse est, par le numéro précédent,
et la probabilité d'une erreur ^ dans ce résultat est proportionnelle à
k* étant toujours l'intégrale /jp^cir ^(a?), prise depuis x nul jusqu'à X infini. Le résultat de la méthode que nous venons d'examiner, et que nous nommerons méthode de stituation, sera préférable à celui de la méthode la plus avantageuse, si le coefficient de — ^', qui lui est relatif, surpasse le coefficient relatif à la méthode la plus avantageuse, parce qu'alors la loi de probabilité des erreurs y sera plus rapidement décroissante. Ainsi, la méthode de situation doit être préférée si Ton a
dans le cas contraire, la méthode la plus avantageuse est préférable. Si Ton a, par exemple.
k devient -— : et A" devient ~(^'^'y ce qui donne ru = ^A. La quantité
I ^iP devient — -, or on a 2Â> — 5 la méthode la plus avantageuse
doit donc alors être préférée.
En combinant les résultats de ces deux méthodes» on peut obtenir un résultat dont la loi de probabilité des erreurs soit plus rapidement décroissante. Nommons toujours X, l'erreur du résultat de la méthode de situation, et désignons par Xj Terreur du résultat de la méthode la plus avantageuse. Le premier de ces résultats est, comme on l'a vu,
— > et le second est -f'-y' Si l'on désigne SpiXi par /, ^^ sera l'erreur de ce dernier résultat; ainsi l'on aura l=^'Sp^. La probabilité de l'existence simultanée de / et de ^ est, par le n® 21 du Livre II, proportionnelle à
fd(ù c-W^ <p(;>rÇ) c/'rCwV^ fdx<f[x) c/'.-n-V^ fJx (^(x) cP»-^'* . . . ,
l'intégrale relative k o) étant prise depuis o) = — ir jusqu'à to = -ît. L'intégrale relative à x, dans le facteur fdx (f{œ) c^i***v^, doit être prise, par ce qui précède, depuis x = /i, 2^ jusqu'à j? = qo. En développant ce facteur suivant les puissances de o^, il devient
fdx(f(x) -^ pi(ù^ — ifxdx<^{x) — />î — fx*dx(f(x) ■+■
En prenant l'intégrale dans les limites précédentes» on a, aux quantités près de l'ordre î*,
fdx<f(x) = k'-'Pit^(f(o).
En négligeant pareillement les quantités des ordres 2[^a), Ç'a>'» ..., on a
— n« Iff
Piùi^—ifxdx ^(x) =/f'pi«^— I, - - --- (ù^fx^dx^(x) = PÎw*,
k' étant l'intégrale fxdx (f{x) prise depuis x = o jusqu'à x infini. Le
OFut^reê de L. -^ VU. 73
facteur dont il s*agit devient donc» en négligeant o)', conformément à Tanalyse du numéro cité du Livre II,
Ar — piC 9(0) -h/r'piw^— I />!"*•
Son logarithme hyperbolique est
,,9(0) W . — *^ a , P\Yy9[o) k' I — T I /
En changeant /?! successivement en /i,, p^, •••«/'r-if on aura les logarithmes des facteurs suivants, jusqu'au facteur relatif à fr-i-
Dans le facteur /rfrç(j7)c^r+f~^"\ l'intégrale doit être prise depuis x= —00, jusqu'au? =/i^<2[; alors /xctr 9 (a:) devenant — it', le logarithme de ce facteur est
£k|-ç£l£l*'„^]^,og^.
On aura les logarithmes des facteurs suivants en changeant /i^, successivement en /i^a, pr^^y . . ., p^. Le facteur ^[prVjc^'^^'^ est égal à
[?(0)-H^*]?»Ci'^-^»,
et son logarithme est
Maintenant, si l'on rassemble tous ces logarithmes, si l'on considère ensuite les conditions (c) auxquelles l'équation r'^*"' est assujettie, enfin si l'on repasse des logarithmes aux nombres, on trouve, en négligeant ce qu'il est permis de négliger, que la probabilité de l'existence simultanée de /et de ^ est proportionnelle à
En faisant donc
la probabilité de l'existence simultanée de Ç et de Ç' sera proportioniielle à
c--d—\ ^'^ ^ '""-'/(/«r f "~~iï^ '.
Par l'analyse du n" 21 du Livre II, l'intégrale relative à cd peut être prise depuis (!)= — « jusqu'à to = oo, et alors ta probabililé précédente devient proportionnelle à
expression que l'on peut encore mettre sous cette forme
Si l'on nomme e l'excès de la valeur dey donnée par la méthode la plus avantageuse sur celte que donne la métliode de situation, on aura i; = î;' — e. Supposons
la probabilité de u sera proportionnelle it
te résultat de la métbode la plus avantageuse doit donc être diminué de la quantité
k k' fijioj k' I''
et la probabilité d'une erreur u, dans ce résultat ainsi corrigé, sera proportionnelle à l'exponentielle précédente. Le poids du nouveau
résultat sera augmenté, si ?-^ — vï? n'est pas nul; il y a donc de
l'avantage à corriger ainsi le résultat de la méthode la plus avantageuse. L'ignorance où l'on est de la loi de probabilité des erreurs des observations rend cette correction impraticable; mais il est remarquable que, dans le cas où cette probabilité est proportionnelle à r~^\
c'est-à-dire où l'on a ç(j7) = c~^'\ la quantité ^4rr^ — tf soit nulle.
Alors le résultat de la méthode la plus avantageuse ne reçoit aucune correction du résultat de la méthode de situation, et la loi de probabilité des erreurs reste la même.
(Février 1818.)
