A LA MÉRIDIENNE DE FRANCE
1. La partie de la méridienne qui s*étend de Perpignan à Fonnentera s'appuie sur une base mesurée près de Perpignan. Sa longueur est d'environ 466^'"f ^t sa dernière extrémité est jointe à la base de Perpignan par une chaîne de vingt-six triangles. On peut craindre qu'une aussi grande longueur, qui n'a point été vérifiée par la mesure d'une seconde base vers son autre extrémité, ne soit susceptible d'une erreur sensible provenant des erreurs des vingt-six triangles employés à la mesurer. Il est donc intéressant de déterminer la probabilité que cette erreur n'excède pas l^o"^ ou 5o™. M. Damoiseau, lieutenantcolonel d'Artillerie, qui vient de remporter le prix proposé par l'Académie de Turin, sur le retour de la comète de 1759, a bien voulu, à ma prière, appliquer à cette partie de la méridienne mes formules de probabilité. Ici la méridienne ne coupe point tous les triangles, comme nous l'avons supposé pour plus de simplicité; mais il est facile de voir que l'on peut appliquer, aux angles formés par les prolongements des côtés des triangles avec la méridienne, ce que j'ai dit sur les angles que ces côtés formeraient s'ils étaient coupés par la méridienne. M. Damoiseau a trouvé ainsi qu'à partir de la latitude du signal de Busgarach, un peu plus au nord que Perpignan, jusqu*à Fermentera, ce qui comprend un arc de la méridienne d'environ 466006™, et en prenant pour unité la base de Perpignan, on a (deuxième Supplément, nM)
^^(«)«p(25)^(25)4.^fa5)':.-^48350,606.
La probabilité qu'une erreur dans la mesure de cet arc est comprise dans les limites =îi s devient, par les formules du même numéro.
afdtc-f*
rintégrale étant prise depuis / nul jusqu'à la valeur de / égale à
aô v^4835o,6o6
n + 1 étant le nombre des triangles employés, et 6' étant la somme des carrés des erreurs observées dans la somme des trois angles de chaque triangle; it est le rapport de la circonférence au diamètre. En prenant pour unité la seconde sexagésimale, on trouve
Mais, le nombre des triangles employés n'étant que 26, il est préférable de déterminer par un plus grand nombre de triangles cette constante 0' qui dépend de la loi inconnue des observations partielles. Pour cela, on a fait usage des cent sept triangles qui ont servi à mesurer la méridienne depuis Dunkerque jusqu'à Formentera. L'ensemble des sommes d'erreurs observées des trois angles de chaque triangle est, en les prenant toutes positivement, égal à 1 73,8a. La somme des carrés de ces erreurs est 44^9217. En la multipliant par :^, on aura, pour la valeur deO*,
Cette valeur, qui diOere peu de la précédente, doit être préférée. 11 faut réduire 6 en parties du rayon pris pour unité, ce que l'on fera en le divisant par le nombre de secondes sexagésimales que ce rayon renferme. On aura ainsi
s est une fraction de la base de Perpignan prise pour unité. Cette base
est de I i7o6",40' En supposant donc l'erreur de 60™, on aura
ii7o6y4<>
Cela posé, on trouve, pour les probabilités que les erreurs de Tare de la méridienne dont il s'agit sont comprises dans les limites db6o™, ±1 5o", ± 40™, les fractions suivantes :
1743696 3^346 ii65
Il y a un contre un à parier que Terreur tombe dans les limites ±8"',o757.
Si la Terre était un sphéroïde de révolution et si les angles de tous les triangles étaient exacts, on aurait exactement Tinclinaison du dernier côté de la chaîne des triangles sur sa méridienne, en supposant donnée cette inclinaison relativement à la base. La probabilité que Terreur de la première de ces inclinaisons, provenant des erreurs des angles observés des triangles, est comprise dans les limites ± |6/ est, par ce qui précède,
l'intégrale étant prise depuis / nul : ces limites deviennent, en substituant pour 6 sa valeur précédente, dz ^6'',8997, les secondes étant sexagésimales. De là il suit qu'il y a un contre un à parier que Terreur tombe dans les limites =b 3", 2908. Si les observations azimutales étaient faites avec une grande précision, on déterminerait par ce moyen la probabilité qu'elles indiquent une excentricité dans les parallèles terrestres. Si Ton mesurait, sur la côte d'Espagne, une base de vérification égale à la base de Perpignan, et qu'on la joignit par deux triangles à la chaîne des triangles de la méridienne, on trouve, par le calcul, qu'il y a un contre un à parier que la différence, entre cette base et sa valeur conclue de la base de Perpignan, ne surpassera pas un tiers de mètre : c'est, à fort peu près, la différence de la mesure de la base de Perpignan à sa valeur conclue de la base de Melun.
SSk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
On a vu, dans le numéro cité, que, les angles des triangles ayant été mesurés au moyen du cercle répétiteur, on peut supposer la probabilité d'une erreur x dans la somme observée des trois angles de chaque triangle proportionnelle à Texponentielle c~*-^*, i étant une constante. De là il suit que la probabilité de cette erreur est
En multipliant cette différentielle par x et l'intégrant depuis x nul
jusqu'à X infini, le double de cette intégrale sera la moyenne de toutes
les erreurs prises positivement. En désignant donc par e cette erreur
moyenne, on aura
On aura la valeur moyenne des carrés de ces erreurs en multipliant par X* la différentielle précédente et en l'intégrant depuis a- = — ao jusqu'à X infini. En nommant donc e' cette valeur, on aura
de là on tire
On peut ainsi obtenir 0' au moyen des erreurs, prises toutes en plus, des sommes observées des angles de chaque triangle. Dans les cent sept triangles de la méridienne, la somme de ces erreurs est 173,82;
on peut ainsi prendre, pour £, i? ' -^-; ce qui donne, pour 26e' ou pour 6*,
cela diffère très peu de la valeur 108,1 34 donnée par la somme des carrés des erreurs de la somme observée des angles de chacun des cent sept triangles. Cet accord est remarquable.
On peut apprécier Texactitude relative des instruments dont on fait usage dans les observations géodésiques» par la valeur de e' conclue d'un grand nombre de triangles. Cette valeur, conclue des cent sept
triangles de la méridienne, est -^-^— ^ — - ou 4 > 1609. La même valeur,
conclue des quarante-trois triangles employés par La Condamine dans
la mesure des trois degrés de Féquateur, est ^t- ou 39,953, et, par
conséquent, près de dix fois plus grande que la précédente. Les erreurs également probables, relatives aux instruments employés dans ces deux opérations, sont proportionnelles aux racines carrées des valeurs de £'. De là il suit que les limites ± 8", 0937, entre lesquelles nous venons de voir qu'il y a un contre un à parier que tombe Terreur de l'arc mesuré depuis Perpignan jusqu'à Formentera, auraient été ±. 25", 022 avec les instruments employés par La Condamine. Ces limites auraient surpassé + 4o"^ avec les instruments employés par La Caille etCassini dans leur mesure de la méridienne. On voit ainsi combien l'introduction du cercle répétiteur dans les opérations géodésiques a été avantageuse.
2. Pour donner un exemple très simple de l'application des formules géodésiques, je vais considérer la droite AA^'\ dont on a déterminé la
longueur par la chaîne des triangles CC^'^C^*\ C^'^C^*^C^*\ .. .. Je supposerai tous ces triangles égaux et isoscèles, et tels que leurs bases CC^'\ 0*)C^'\ ... soient parallèles à la ligne AA^*^ On aura, en abaissant sur
OKmvrti de L. — VU. 74
cette ligne les perpendiculaires CI, 0'4^*^ ...,
lI<*)==CC<<>cosA<«>,
sinOocfa)C *
1(1)1(1) ^C(oC(a)cosA<*>,
r(i)r(3)- Ç^i^Çf^nO^cmcç»)
et généralement
I(*)I(/-M) = C^«)C^ivi) cosA^'-^<),
C(lH-l)(](«H-2) —
smC('-^«>C('^=«)C^')
Soient a<*^ et 6^*^ les erreurs des angles opposés aux côtés CC^'^ et C^'^C^^^ dans le premier triangle. Soient a^*^ et 6^*^ les erreurs des angles opposés aux côtés C^'^C^*^ et C^'^O'^ du second triangle, et ainsi de suite, lin désignant par S une variation relative à ces erreurs, on aura
L =3 o^a K. iXih-t) ian«A<*-»-«\
l(i)X(<vi) C^oco») w"5A •
^^ ^ : = °^^ ^ h6<'>colCt'-»-<>C<'-«)C<«î
— a^')colC<')C<'+«>C<'-<).
On a encore, en supposant les angles A^'^ relatifs aux angles aigus que les côtés des triiangles forment avec la ligne AA^*\ . . .,
nous supposerons ici que les erreurs a^'^et 6^'^ des angles C<'-^*^C^'"*'0'\ C(')c('^oC('-o du triangle O^-^^O'^O'^*^ sont celles qui restent, lorsqu'on a retranché de chaque angle du triangle le tiers de la somme des erreurs des trois angles. Alors on a
5C<'-i ) C('>C<'-+-« ) = — «fO — 6(0, ce qui donne
on aura donc
le signe supérieur ayant lieu si i est pair, et l'inférieur si i est impair. On aura ensuite, en observant que
etqueAt'*' = Af'\ on aura donc
Supposons maintenant que l'on ait mesuré une base AC située de manière que Tangle CAA^*^ soit égal à l'angle CA^^^A. Le premier de ces angles détermine la position de la ligne AA^*^ par rapport à la base, et il est supposé connu. En nommant a et ë les erreurs des angles œ'^A et CAO*^ on aura
3A«*):=aH-6,
^g^ =:6colCAC<'î- acolCO*>A.
Faisons
colCAO*> =:coiA -h A,
coiCCO)A=:coiA-hA';
nous aurons, en désignant par b la base AC et para la droite ir*',
^^isinÀ sinsA
2 6 siii A cos'-^ A sin2A
nous aurons ensuite
^LJj.__ = (6(04. §(/-!) H . . . -h 6 - «(/)- a(*-u-. . .- a) coiA
- («<')-«<'-«>-♦-. . .d= « -f- go - 6<'-04.. . .± 6) langA-h A6-A'a.
La variation de la longueur totale 11^''^') sera donc
aiI('-*-i)= [{1 -+. i) (6 — a) 4- 1{6<0 - «(O) -4-. . .4- (6C'> — «<0)]acoi A
-h (14- i)Aflf6— (1 -h i)h'aa
- («fO 4- «('-» -+- «<'-*> -h. ..-+- €<'> 4- 6f'->> -h 6^'-*)-+-. . .)alangA.
La quantité
|,a— ^ç 4.^14-^(01 — p(Oç(0 4-^(1)1 + ...-+. |,(0i|>(0ç(0 -H ç(')J
devient ainsi, en négligeant les termes de l'ordre 1»
