a — nUi.Q

d'où l'on tire, pour la valeur de 55«-„,/ ou le coefficient de /•-«/'' dans le

développement de sa fonction génératrice,

(tf — /iH-i)(/i — /i4-2)...(a — /î -h 5')

ce qui donne

Le second membre de cette équation multiplié par - sera donc

la fonction génératrice de :;,,/; en la développant par rapport aux puissances de t et ensuite par rapport à celles de t\ il est aisé de voir que le coefficient de t* ou de ^»-'»^ est

et que celui de £'*', ou de t'^-^^' dans cette dernière expression, ou 5,,, , est égal à

rt — n-f-i). . .(g -f-/i'— /i — /i'-m) •

j?(a:4-i)...(j?-^J?'— 2) , a^a'^n—n'-'fi J7{jr -h i)...(jr -h j:'— 3)

Maintenant, en multipliant cette valeur de 5,,/ par

on aura, après toutes les réductions, pour l'expression de yx^x^

yxyx' —

X a'— /l'-h x' x(x -+- 1) (rt'— /l'-h x') (a'— «'-+- x'— i) I -i 1 "• ' ^ ' ^ '

I a-^a' — n — n' -\- x' i.a {a-^a' — n — w'-h x')(a-4-a' — n — /l'-hjr' — i)

i.a. . .(►i' — i) \a -+-«'— /ï — «'-Hx').. .(a-+-a' — /i — /l'-t- a)

Concevons actuellement a — n et a'— n' dans le rapport de/> à y, en sorte que Ton ait a — /i =/?* et a'— /i'== qk^ et imaginons que A devienne un très grand nombre ou l'infini ; il est clair que la probabilité de la sortie d'une boule blanche ou d'une noire dans les tirages successifs deviendra constante et sera ^ pour une boule blanche et — ? — pour une noire, et la probabilité y^^^' se réduira à cette expression

i.2...{jp'— i) \p-^q/ s

telle est la formule a laquelle conduit le problème des partis, et effectivement nous rentrons dans les conditions de ce problème par la supposition de ^infini.

Si l'on suppose n égal haetn' égal à a*, y^^' exprimera alors la probabilité de la sortie de toutes les boules blanches restantes dans l'urne avant que toutes les noires aient été épuisées, et son expression se changera en celle-ci