aa'-^ab'-^àbY'^^l^'^ 1 b'^'"'^ 1.2. ..(^-2) b
En continuant ainsi, on aura les probabilités de toutes les h}'pothèses successives qui peuvent se présenter dans la supposition du gain de
la partie par le joueur B, jusqu'à celle où il ne gagnerait qu'au (^'-h X — i)»*°** coup, événement dont la probabilité serait
et eflectivement, dans ce cas, il ne peut y avoir de coups où les joueurs amènent en même temps une boule blanche.
La somme de toutes ces probabilités donnera évidemment celle du joueur B pour gagner la partie.
Si Ton fait attention que
fib' n'b , fl__ »
aa'-hab'-ha'b"'^' aa' + «6' -i- a' ft "" '^ ^^ 5"" m'
on retrouve l'expression de s^^j.'.
Concevons présentement qu'il y ait dans les urnes des boules blanches portant le n^ i, et d'autres boules, de la même couleur, qui portent le n^ !2; chaque boule diminuant de son numéro, par sa sortie, le nombre de points qui manquent encore au joueur auquel elle est favorable. Le problème n'est plus susceptible d'être résolu généralement au moyen des combinaisons, au lieu que le calcul des fonctions génératrices continuera à fournir une expression générale dont le développement contiendra la solution complète de la question et pourra, dans certains cas, s'effectuer par des lois faciles à saisir, comme nous aurons occasion de le voir.
Soient p la probabilité du joueur A d'extraire une boule numérotée I, Pi celle d'extraire une boule numérotée a, et q celle d'amener une boule noire; p\ p\ et ^Mes probabilités correspondantes pour le joueur B; et soit toujours js«,j.'la probabilité de ce dernier joueur pour gagner la partie. En suivant la même marche que plus haut, on sera conduit à l'équation aux différences partielles
dans laquelle on fait
i^qq' i^qq' i^qq' i-qq'
la fonction génératrice de la variable 2^.,^;', donnée par cette équation, sera
 et B étant des fonctions arbitraires de t. A! et B' des fonctions arbitraires de ^, lesquelles seront déterminées au moyen des fonctions génératrices de
^Q.jfy <2x,o> ^{,jrj Zx,\
qui le sont elles-mêmes par les conditions du jeu. On trouve, comme précédemment, que la fonction génératrice de
So,*' est zéro et celle de s^,©. "^77* De Téquation générale, on déduit Téquation aux différences finies
qui a lieu pour toutes les valeurs de a?' depuis a/= 2 inclusivement, et qui donne conséquemment, pour la fonction génératrice de S|^^ ,
a et 6 étant des constantes que Ton détermine au moyen des valeurs de s,,o et z,,,; et comme j5,,o est égal à l'unité, z,j est égal à m'-h/n^, et est en même temps le coefficient de /' dans le développement de la fonction génératrice ; il en résulte
a = I el b=zm\; la fonction génératrice de j3|,^' est donc
Maintenant, si dans Téquation précédente on met i — j",^' à la place de jSjc,^', ^a?,a?' étant toujours la probabilité du premier joueur A, elle se reforme de la même manière par rapport à cette dernière variable, et Ton en déduirait pareillement Téquation aux différences finies
Mais on verrait en même temps qu'elle ne commence à avoir lieu que lorsque x surpasse 2; car, x étant a, on aurait
II ne faut donc l'employer qu'à partir de 07 = 3, et alors la fonction génératrice de j^^?,! est de la forme
a -h bt 4- ct^
a, 6 et c étant des constantes que l'on déterminera, comme précédemment, au moyen des valeurs de ^,,e» J^i,i et y^^^; or y^^^ est l'unité; y,j est égal à i — m'— m',, et est le coefficient de t dans le développement de la fonction génératrice ; y^^t a pour valeur, comme nous venons de le voir,
m(i — m' — m\) 4-mi -^-nt-^ n\;
c'est le coefiicient de /' dans le développement de la fonction. On en
conclura
«n=i, i:^ I — m m' — m'^ el c = ni -4-11',,
et la fonction génératrice de y^r,! sera donc
conséquemment celle de z^^^ est
i — t I — mt — iii|/*
— (^'+^'i)^-^(^-H^')<^4-(«i + /t;)/« '" II — /) (1 — /II/ — mi/'-»)
Reprenons actuellement la fonction génératrice (c); on peut toujours la ramener à cette forme
' 4êl
Â| et B| étant les fonctions arbitraires de t, A\ et B^ les fonctions arbitraires de t; lesquelles on détermine aisément, en égalant d'abord le coefficient de t^ dans le développement de cette fonction à la fonction génératrice de Zq^^.' ou zéro, ensuite celui de i'^ à la fonction génératrice de ^ar.o ou —-^y puis celui de / à la fonction génératrice de 5, -pr,
et enfin celui de t à la fonction génératrice de ^j.^,, ce qui donnera successivement
1 — m/-~m,/« H' ^^' n "^\ •+- '«'-H ri\ t A, = o, A,= j|-— ^ y li^ = m,, B|— ^— -^ j
et, par conséquent, pour la fonction génératrice de s^p^?',
Si Ton suppose p et /l' nuls, alors on a
m = o, m'=o, « = o, /i| = o et /i'=o,
et la fonction {d) prend cette forme
sous laquelle elle est susceptible des mêmes développements que la fonction (a). Il est à remarquer que Ton retrouvera le même coefficient pour
ce qui se voit a priori, en faisant attention que les joueurs comptent toujours deux points à chaque boule blanche qu'ils font sortir. Supposons que le joueur A ait seul des boules numérotées i et 2, et
que l'autre joueur n'ait que des boules blanches marquées i , ou qui ne lui comptent qu'un point en sortant; alors
et, par suite,
ift| = Oy n' = o, ii| = o;
la fonction [d) devient
(i — /)(i — in/ — m,/a — m'/— n//'- n,/«/') i — / rmM-|n Hhjt^ 1 /
en la développant suivant les puissances de /", le coefficient de f sera
expression qu'il s'agit maintenant de développer par rapport aux puissances de / pour avoir le coefficient de i'; or ce coefficient sera la somme de tous les coefficients des puissances de t inférieures ou égales à t'~\ dans le développement de l'expression
laquelle, en omettant les termes où les puissances de t en dehors des binômes sont supérieures à tf^\ peut être mise sous cette forme
I \ m' ) i.a \ m' ) '" i.a...(jr — i) \ m' /
Si Ton rejette encore de cette série toutes les puissances de i supé-
Heures à /^~*, qui résulteront des développements des binômes, et si, dans ce qui reste, on fait / = i, on aura l'expression de 5^.^'.
Examinons encore le cas où le joueur A serait certain d'extraire à chaque coup une boule qui compterait à ce joueur un point, c'està-dire où Ton aurait
p = h Pi = o, q = o,
et conséquemment
n =zp\
ni —0,
La fonction génératrice de z^^^?' ou la fonction (rf) se réduirait alors à
t{i-g't)-hp\tU'
et celle de y^^^x serait, par suite.
i{i—q't)-hp\t^t'
(i~0('-0 (i-i]{i^q't-p'tt'-p\tt'^) "" I — r "^ (i^t')(i-q't-p'tt'-p\il'^y
Dans cette dernière expression, le premier terme représente la fonction génératrice de yo,«'» qui est égal à l'unité quel que soit x\ et le second donnera, en le développant par rapport aux puissances de / et de t', toutes les autres valeurs de yx,x'f or le coefficient de f sera
d'où il résulte que, si Ton rejette du développement de la série
,..-.[,.. (£^ (£^) ...fcii)^) (i^^)V.....]
toutes les puissances de t' supérieures à /'*', et si Ton fait dans ce qui reste t^= i, on aura, en supposant a/ pair et égal à 2r-h 2, le coeffi-
Œwrtt de L. — VII. 80
63b THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
cientde//''/''', ou
^ (.r-i)(j:~2)...(j7-r-i) p''*^» f (r-f-i) /)', (r-hi)r /)',« (r-+-i)r...a /^'H
fr+l
lr-»-l
et, dans le cas de x' impair ou égal à ar -f- 1 ,
i-f. /'^-'\ /e!±^\ H (■r-i)(.r-2) /p'^p\y ^ ^ (x-i)(x^'i)...(jr-r) (P'-PxV (.r-i)(.r-2)...(x-r-i) ^^^-^-'f /r-t-i\;>; (r-n)r />;« (r^i>r...3 ^r»]
''-^« L 1 p'"^"*"^ i.2...(r-2) ^Jl
(x — i)(jr — 2). . .(jc — ir) p'
ir
Il est visible que le joueur B ne peut espérer de gagner qu'autant que X est plus grand que ^^- i, soit que x' égale ar-h a ou ar-h i; et
effectivement, hors de cette supposition, les valeurs précédentes de yx,x deviennent toutes égales à Tunité.
Nous ferons aussi remarquer que le joueur A a nécessairement gagné la partie lorsque le joueur B aura tiré a? — r— i boules noires avant d'avoir atteint x' points; mais ce dernier joueur peut encore avoir perdu avant d'avoir amené la totalité de ce nombre de boules noires, ce qui fait que cette question n'est point susceptible de rentrer dans celle qui est traitée dans la Théorie analytique, à la suite du problème des partis, comme précédemment une supposition semblable nous a conduits à ce dernier problème.
3. Le problème des partis ayant été l'objet des recherches de deux
grands géomètres du xvn® siècle (*), et en quelque sorte le premier de ce genre soumis à des méthodes analytiques, on sera peut-être curieux de voir comment ce même problème se déduit encore, comme corollaire, d'une autre question de probabilité, dont la solution offrira d'ailleurs une nouvelle application de la méthode des fonctions génératrices.
On tire successivement d'une urne, qui contient une quantité déterminée de boules blanches et noires, une boule que l'on ne remet point après le coup, et l'on demande, après un certain nombre de tirages connus, quelle est la probabilité de compléter la sortie de tel nombre donné de boules blanches avant celle de tel autre nombre, également donné, de boules noires. ^
Soient a et a' les nombres de boules blanches et noires contenues primitivement dans l'urne, n le nombre de boules blanches que l'on se propose d'atteindre avant d'avoir extrait un autre nombre n! de boules noires; et supposons qu'après avoir tiré successivement de l'urne une boule sans la remettre, on ait amené n — x boules blanches et n! — x' boules noires, x et x' étant alors les nombres de boules blanches et noires qu'il reste à faire sortir pour décider la question. Représentons P^f yx,x I^ probabilité d'amener dans les tirages suivants x boules blanches avant ;r' boules noires, ou d'atteindre la totalité des n boules blanches avant d'avoir extrait n' noires; on aura, d'après les règles connues des probabilités, l'équation
Faisons
l'équation précédente devient
( 1 ) Pascal et Fermât.
et, en supposant
elle se ramène à cette forme
équation aux différences partielles à coefficients constants, laquelle doit avoir lieu pour toutes les valeurs entières et positives de s et de s\ à partir de f = a — n et de s'= a'— /i', et donne conséquemment pour la fonction génératrice de Zj,/
A étant une fonction arbitraire de i, et A' une fonction arbitraire de t\ On peut toujours transformer cette expression en celle-ci
dans laquelle A| et A', sont de nouvelles fonctions arbitraires de / et de d. Pour les déterminer, nous observerons que, y«,« ne pouvant avoir lieu et y^,^ étant égal à zéro, quelles que soient les valeurs entières et positives de x^ on aura
par conséquent la fonction génératrice de Zf^-^^ sera nulle, ce qui donne
la-nfa'-n' — L^ =: q ei par suiie Ai = o.
De plus, y^,jB' étant égal à l'unité pour toutes les valeurs de ^ depuis x'= r, on aura semblablement
