LIVRE PREMIER

on aura ainsi Z — t'U pour le coeflicient de 6' dans le développemeiil de la fraction

ce sera par conséquent l'expression de -.; partant.

Cela posé, le coefficient de i' dans -j est /,,.,■. Ce même coefficient, dans un terme quelconque de «Z tel que ius^ ou ^^(7 — M . est, par le n" 2, iA"'j'j,r- Dans un terme quelconque de ut'L\ tel que jta/a' ou *«/'■*' (y — 1] , ce coefficient est tA"'/a,,,; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients.

On peut donner les formes suivantes à l'expression précédente. Soit Z' ce que devient Z' lorsqu'on y change i dans t — i, et par conséquent ce que devient Z lorsqu'on y change (' dans i — 2. L'équation

donnera

-LT = Z'-lZ'i par conséquent.

lin ajoutant ces deux valeurs de - pI prenant la moitié de leur somme,

on aura

i,=iz-iz'+i(i + /)(!- 1)2';

or on a

partant,

d'où Ton conclut» en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

H- ^ ( Ajx-f- A/x-O -H ^ ^^ (A«rx-, -h A»rx-t) ri 1.2.3.4*5

Cette formule sert à interpoler entre un nombre impair !2;r + i de quantités équidistantes; Tintervalle commun qui les sépare étant pris pour unité, y^ est la moyenne des grandeurs jo» y\ • J2» • • • » 7j«» ^t ' est la distance de ja?+i à cette moyenne. L'expression précédente est alors symétrique relativement à ces grandeurs ; car A^j^, , par exemple, est égal à j-^^, — 27^ + j^,, et Aj^4-Aj^«, est égal à YgB^\ — Ja?-i. Ainsi les quantités placées au-dessus et au-dessous de la moyenne y g. entrent de la même manière dans cette expression.

Si Ton change i en 1 H- i dans la dernière expression de -> et si l'on

en retranche cette expression elle-même, on aura l'expression de