LIVRE PREMIER

-^ est égal au coefficient de 6' dans le développement de la fraction

— î-g- Si Ton multiplie le numérateur et le dénominateur de cette frac-

'-7 (ion par

et si dans le numérateur on substitue au lieu de s sa valeur

b c a-+- j-h- -h..., on aura

<*n divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ' — -j elle devient

La recherche du coefficient de 0' dans le développement de cotte fraction se réduit a déterminer, quel que soit r, le coefficient de O'" dans le développement de la fraction

Pourcela, considérons généralement la fraction 7^» P et Q étant des

''onctions rationnelles et entières de 0, la première étant d'un ordn» 'wérieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteur 6 — a élevé à la

puissance s, en sorte que l'on ait

R étant une fonction rationnelle et entière de 6. On pourra décomposer la fraction rr en deux autres y-^ r- -h ^j A et B étant des fonctions

rationnelles et entières de 6, la première de Tordre 5 — i , et la seconde d'un ordre inférieur à celui de R; car il est visible qu'en substituant pour A et B des fonctions de cette nature, avec des coefficients indéterminés, en réduisant ensuite les deux fractions au même dénominateur, qui devient alors égal à Q, en égalant enfin la somme de leurs numérateurs à P, la comparaison des puissances semblables de 6 donnera autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. Cela

posé, l'équation

donne

Si l'on considère A, B, P et R comme des fonctions rationnelles et entières de 0 — a, A sera une fonction de l'ordre 5 — i , et par conséquent

p il sera égal au développement de ^ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 6 — a, pourvu que l'on s'arrête à la puissance s — I inclusivement. Soit donc

on aura

I/o Ui tt«

en rejetant les puissances positives de 6 — a; -v--- — r, est, par conséquent, égal au coefficient de ^'~* dans le développement de la fonction