IMO

ar+.

pourvu qu'après les différentiations on suppose 9 = a dans le premier terme, 6 = a' dans le second terme, 6 = a" dans le troisième terme, etc. S'il n'y a qu'un seul facteur Q — k, la fonction renfermée entre les deux

parenthèses se réduit à ^^^^ 6 devant être changé en a après les différentiations, ce qui réduit la quantité (o) à

i.^.3...(t — i)a' ar*'

Si dans l'expression de V quelques-uns des facteurs 0 — œ, 0 — a', . . . sont élevés à des puissances plus hautes que l'unité; par exemple, si ft — a est élevé à la puissance m, il .sera élevé à la puissance — ms dans^) et alors il faut changer le .premier terme de ta quantité {o) dans le suivant :

\.-i.Z...\mi- lia* de™-' e"-'[ô-a'}*(ô — a")'...

et dans les autres termes, il faut changer (9 — «)' dans (6 — a)"'.

Représentons généralement par Z"~"la quantité (o); le coefficient de 9' dans le développement de la fraction y-^ — r^ sera

Zi" -4- Zii'„ z + Z^'j„ 3» + Zlî'„ a ' -i- . . . :

on aura donc, pour le cooMicicnt de 6' dans If ' de la

il THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,

deuxième fraction de la page 19, ou pour la valeur de rjt

' ='[Z!"-i., + »Zi?i„,+»'ïiï..», + «'Z!!'.»..+--]

t- c[Zl!i,„ + »Z!^1„.+ »'Z,"-'.„, + »'Z!Î'.... +• • •]

«IZJÎU

1 c[Zlîl„+»Ziii

,., +».ziîi„. +■ ..■+s■za„. +■

1 ( «[Zi!i.,+î2Jl

„, + î'Zlî',,,, + .

Présentement, si l'on désigne par v/i la quantité

par v'j-i '^^^ t|*'® devient v^** lorsqu'on y change jk, dans ^y^, par v'/» ce que devient v*^j. lorsqu'on y change v^x ''ans V'^*. et ainsi de suite, il est visible, par le n" 2, que le coefficient de f* dans le développement de -— sera ^'yx+ri en multipliant donc l'équation précédente par u et en ne considérant dans chaque terme que le coelTicientde /'".c'est-à-dire en repassant des fonctions génératrices aux coeflicieDls, on aura