LIVRE PREMIER
Cette formule servira à interpoler les suites dont la derDÎère raison des termes est celle d'une suite récurrente ; car il est clair que, dans ce cas, Vyrt v'Xrf • • ' vont toujours en diminuant et finissent par être nuls dans l'inûni.
6. La formule (B) s'arrête lorsque ronav'jK*= o,r étant un nombre entier positif quelconque, et alors l'expression précédente de j^+i devient l'Intégrale de l'équation aux différences finies v''^i== o. ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n° 3, relativement à l'équation \''yi ~ o. Supposons \yi =: o, ou, ce qui revient au même,
o = axi+ l>yi+ 1 + cyi+t -i- . . . + qx'*" î
si l'on fait x nul dans la formule (B) du numéro précédent, elle devient
yt> y M y*' •■■> yn-\ sont les « premières valeurs de yi; ce sont les n constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation Vyi = o introduit. La valeur de Zj^^, est égale à
Ainsi, V étant égal à a (9 — a}(e — eE')(6 — a"), . . ., le premier de ces termes devient
pourvu que l'on chanj:;e 0 en a dans -j^; ci
OEutrcld*L. — \\\.
terme multiplié par -^> Texpression précédente de j/ deviendra
■^jri[c(x"^^ -h ex"-^-h. . .4-ça)
En changeant successivement, dans le second membre de cette équation, CL en cl\ (t'\ ...» et réciproquement, on aura autant de termes qui, ajoutés au précédent, formeront l'expression complète de j',-. Nommons^ la fonction comprise entre les deux parenthèses, en sorte
que ce second membre soit :7t>- Si les deux racines ot et a' sont
dd égales, V sera de cette forme (9 — a)*L. On supposera que a et z', au
lieu d'être rigoureusement égaux, différent infiniment peu, et que Ton a
a' = a -f- rfa. Alors la somme des deux termes de y^ relatifs aux racines
a et a' sera
k' étant ce que devient k lorsqu'on y change a en a'; L et L' étant ici ce que devient L lorsqu'on y change 8 en a et a'. Cette quantité est donc égale à
da '
mais on a
I rfay
6 devant être changé en % après les différentiations. La somme des termes de l'expression de j,, relatifs aux deux racines égales, est donc
i.^ doL ,^. d^\
dQ^
