LIVRE PREMIER

Relativement à l'équation aux différences partielles du premier ordre

on a

Zf^ = - '

aa'^* '

on a de plus

ce qui donne

(l*ob Ton tire cette équation différentielle

o=:^(A + B'f)-/B'Zl°\

ce qui donne Téquation aux différences finies

on a ensuite

Ufonnule (X) du numéro précédent deviendra donc

Tinlégrale finie étant prise depuis r= o jusqu'à r— {. C'est l'intégrale

complètederéquation précédente aux différences partielles du premier ordre.

^'équation aux différences en V donne en l'intégrant

1 __Hi(i-i)(/-2)...(i-rH-f) B''-

Ar — 5 ■ ~]~p>

H étant une constante arbitraire, et le dénominateur étant l'unité forsquerestnul. Pour déterminer cette constante, on observera que le

coefficient indépendant de p dans Zj®^ est — rz:n\i^'iy ^*^^^ '^ valeur de

\ et par conséquent de H; on aura donc

En passant du fini à rinfiniment petit, la méthode précédente donnera l'intégrale des équations linéaires aux différences infiniment petites partielles dont les coefficients sont constants : i** en intégrant une équation linéaire aux difTérences infiniment petites; uf* au moyen d'une intégrale définie. Mais ce n'est pas ici le lieu de m'étendre sur cet objet que j'ai considéré ailleurs avec étendue.

On doit faire ici une remarque importante, relative au nombre des fonctions arbitraires que renferme l'expression générale de v,-^-. Ce nombre, dans la formule (X) du numéro précédent, est égal à n\ mais il devient plus petit dans le cas où, la valeur de z du n® 13 ne renfermant que des puissances de ^ moindres que /i, la plus haute puissance n

de ^ a un coefficient constant ou indépendant de -* Alors, en suivant

l'analyse précédente et déterminant à son moyen la valeur de tt-^?

comme nous avons déterminé celle de -.9 en repassant ensuite des fonctions génératrices à leurs coefficients, on parviendra à une formule analogue à la formule (X); seulement, l'intégrale définie, au lieu de s'étendre jusqu'à r= i-^- i devra s'étendre jusqu'à r = x'+ i. Cette nouvelle expression de^/^ne dépendra plus que des n! fonctions arbitraires y,-,o» Ji,i f j/,j» . • . » yun-\ * et tandis que la première suppose la connaissance des n premiers rangs verticaux de la Table (Q) du n° 14, celle-ci n'exige que la connaissance des n' premiers rangs horizontaux de la même Table. Ainsi les n fonctions arbitraires jo,x'» Ji,*» Va,^', • • •» Jii-i,»' de ïsi formule (X) n'équivalent qu'à /l' fonctions arbitraires distinctes. En effet, l'équation proposée aux différences partielles donne yi^n' au moyen des valeurs de yi±r.o^ yi±r,%f •••» yi±r,n-\* ^ étant un nombre entier. Elle donne pareillement j^,-,„'+i ati moyen de j^^tr,©» yi±r,if • •• » yidtr^'f et éliminant j,±r,«' au moyen de son expression, on a yi,n'-^t au moyen dey,±^,o» i:tr,if •.-. yidtr^n-î- En continuant ainsi, on