LIVRE PREMIER

suivant les puissances de^; en changeant donc» dans cette dernière

quantité, p en/i, et nommant P ce qu'elle devient alors, on aura AP/i'*'',

pour la partie dej/^^;' qui répond au terme Kp^\ Il suit de là que, si la valeur de jo,*' ^s* égale à kp^'-^ A'p'^'-h Ay^'H- . . . , et que l'on nomme F, P", ... ce que devient P, en y changeant p dans/>', p'\ , . . , on aura, pour la partie correspondante de j^,^',

AVp^' -h A' V'p'^ -4- A'P V' + • • •

On trouvera pareillement que, si la valeur de j^,,aj' est exprimée par B^'-hBY^'^-B'Y""-»--- et si l'on nomme Q, Q', Q", ... ce que devient la quantité

lorsqu'on y change successivement y, en q, y', Y» • • • » '* partie correspondante de ji>' sera

BQq'' -*- B'Q'q'^' -h B'Q'?'^'-f- . . . ,

et ainsi de suite. La réunion de tous ces termes donnera l'expression dej/^j.' la plus simple à laquelle on puisse parvenir.

15. La valeur de j,>' donnée par la formule {'k) du numéro précédent dépendant de la connaissance de M^'"\ M^^~^\ ..., il est visible

que ces quantités seront connues, lorsque l'on aura le coefficient de -pj

dans le développement de Z|.®^; tout se réduit donc à déterminer ce coefficient. On a, par le n^ 5,

aa"'"^»!»^— ajta"— a')..

OBawres dé L. — VU. 8

a, «', a'% . • . étant fonctions de p • Si Ton fait p = s, et que Ton diffé-

rentie l'expression précédente de Z^^\ n fois de suite par rapport a s^ on aura, avec Téquation précédente, /i + 1 équations, au moyen desquelles, en éliminant les puissances indéterminées -7:^ » -^j:^ > ""J^t^» •• • »

on parviendra à une équation linéaire entre Z|'\ —^j ' > . . ., dont

les coefficients seront fonctions de a, a', a", ... et de leurs différentielles prises par rapport à 5; or il est clair que a, a^ ol", ... doivent entrer de la même manière dans ces coefficients, que Ton pourra ainsi obtenir en fonctions rationnelles et entières des coefficients de Téquation qui donne les valeurs de a, a', a*", ... et des différences de ces coefficients, et par conséquent en fonctions rationnelles de s. En faisant ensuite disparaître les dénominateurs de ces fonctions, on aura une équation linéaire entre Z|/^' et ses différentielles, équation dontles coefficients seront des fonctions rationnelles et entières de 5. Gela posé,

considérons un terme quelconque de cette équation, tel que ks^ ""^^t"' et nommons V le coefficient de -py, dans le développement de ZJ"^ suivant les puissances de -7; ce coefficient dans le développement de ks^ , .; sera

/f(r-hfA — m)(r-+-jx — m — i)(r-4-fA — /n — 2)...(r — m-h ijXr+yL-m*

En repassant ainsi des fonctions génératrices a leurs coefficients, l'équation entre Z[.®^ et ses différences donnera une équation entre V, V^.,, ... dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de r et dont l'intégrale sera la valeur de V«

Il suit de là que l'intégration de toute équation linéaire aux différehces finies partielles, dont les coefficients sont constants, dépend : 1® de l'intégration d'une équation linéaire aux différences finies dont les coefficients sont variables; 2? d'une intégrale définie. L'intégrale définie dont dépend la valeur de j/^aj* dans la formule ()c) est relative à r, et doit s'étendre jusqu'à r = « -h i .