LIVRE PREMIER

Soit

^-.lfc7lîl,„ + ^).^-.

jv(i-j)' + V.o(|-6)'-+V<..(;-Jp+...+ V-. I

Or l'équation

donne

partant

iv (p - »y' + vi'i (p - i\'~' + . . . H- v"'i

Pour repasser maintenant des fonctions génératrices aux coefficients, nous observerons : l'quelecoefficientdef'ï'dans .^yn! f^sty,;,^; a" que

6k THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

ce même coefficient, dans un terme quelconque, tel quei/f-, — 6 j

ou uly [ ^ — I y , est br '^''(■Ç^)» la caractéristique 'A des différences

se rapportant à la variabilité de x\ et cette variable devant être supposée nulle après les difîérentiations; 3^ que ce coefficient dans

u (j — a\ est a'^A'' y^) » la caractéristique A se rapportant à la variabilité de X, et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; on aura donc, avec ces conditions,

? V^"^ * ) A (^^] + 7—^^ VC''-^») A» (^) + . . . \-ab \ «-^ / (c-hab)^ \ ^ /

c -4- ab

[c-^-aby

c'est l'intégrale complète de l'équation (6) aux difTérences partielles.il est clair que cette intégrale suppose que l'on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) du n** 14.

17. L'expression précédente de/a.,<p' offre cela de remarquable, savoir que les caractéristiques A et 'A des différences finies ont pour exposants les variables x et a?'. En voici un autre exemple. Considérons l'équation aux différences partielles

0 = A«Ja:.x'4- -A«-* 'A/or.x'H- -j A""» 'Ajx. x' + • • • ,

la caractéristique A se rapportant à la variable rrdont l'unité est la différence, et la caractéristique 'A se rapportant à la variable a/ dont a est la différence. L'équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent,