X' JE

En désignant donc par la fonction arbitraire 9(^') la quantité

(^riff) y*''' Texpression de y^,:^' deviendra

OfEwTCf de L.^ VU.

Cette valeur satisfait donc à Téquation proposée aux différences partielles. II est visible que chacune des racines q\ ^, ... fournit une valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autre arbitraire. Nous désignerons par <pi (a:'), çj(a?'), . . . ces nouvelles arbitraires. La réunion de toutes ces valeurs satisfera à l'équation proposée, parce qu'elle est linéaire, et cette réunion en sera l'intégrale complète, qui est ainsi

Si l'on suppose % infiniment petit et égal à dac'\ si l'on observe d'ailleurs que

dx'\'^^

comme il est facile de s'en convaincre, en prenant les logarithmes de chaque membre de cette équation, on aura

c'est l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles finies et infiniment petites

o = ù-rx.. -H « A»-. (%r) ^ , A»- {%^) + . . . .

Toutes les équations aux différence^ partielles que nous avons examinées jusqu'ici n'ont point de dernier terme indépendant de la variable principale. Si elles en avaient, on y aurait égard, et Ton intégrerait ces équations par la méthode que nous avons donnée pour cet objet, relativement aux équations aux simples différences, et qu'il est facile d'appliquer aux équations à différences partielles.