LIVRE PREMIER

en changeant encore af dans n -h x\ on aura

et généralement on aura

On pourra ainsi, au moyen de ces deux équations, continuer les valeurs de ^x,*' à l'infini, du côté des valeurs positives de x^ et l'on en conclura celles qui répondent à x négatif, au moyen de l'équation

De là résulte la construction suivante. Représentons les valeurs de 7^.0, depuis â; = o jusqu'à j? = ti, par les ordonnées menées aux angles d'un polygone dont l'abscisse soit x, et dont les deux extrémités, que je désigne par A et B, aboutissent aux points où ^r = o et a? = w. On portera ce polygone depuis ^ = n jusqu'à x = 2n, an lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis x = o jusqu'à x = n, c'est-à-dire une position telle que les parties qui étaient au-dessus de l'axe des abscisses X se trouvent au-dessous, le point B restant d'ailleurs dans cette seconde position, à la même place que dans la première, et le point A répondant ainsi à l'abscisse x = 2/1. On placera ensuite ce loême polygone depuis x = 2n jusqu'à x = 3n, en lui donnant une position contraire à la seconde et par conséquent semblable à la première, de manière que le point Â, dans cette troisième position, conserve la place qu'il avait dans la seconde, et qu'ainsi le point B réponde à l'abscisse x = 3n. En continuant de placer ainsi ce polygone alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe des abscisses, les ordonnées menées aux angles de cette suite de polygones seront les valeurs iey,^ qui répondent à x positif.

Pareillement, on placera ce polygone depuis x = o jusqu'à x=: — n, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis x = 0 jusqu'à 47 = /t, A restant d'ailleurs à la même place dans ces deux positions. On placera ensuite ce polygone depuis x-= —n jusqu'à

x= — 211^ en lui donnant une position contraire à la seconde* le point B conservant la même place, et ainsi de suite à l'infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de j^?,© qui répondent à X négatif. On aura ensuite la valeur de y^^y en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux abscisses o^ -f- or' et X — X •

Cette construction géométrique est générale « quelle que soit la nature du polygone que nous venons de considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs dey^^y comprises depuis x = o jusqu'à x = n^ et depuis x' = o jusqu'à a?' = » , pourvu que Ton ait y^y = o et 7«a/= o» et que d'ailleurs le second rang horizontal de la Table (Z) soit tel, que l'on ait

On a, par ce qui précède,

de plus, donc

Xx,x'-Hi ^= — î^'«-x-^, 0 — ï J^n-x-Kf, 0 =^ — /"«-x, x**

Il suit de là que, dans la Table (Z), le (n -h o:')'*"* rang horizontal est le ic'»«™« rang pris avec un signe contraire et dans un ordre renversé, en sorte que le terme r'*™* du rang {n-hx'y^^ est le même que le terme (n — r)'*"* du j/'*"* rang pris avec un signe contraire. On a ensuite

on a d'ailleurs, par ce qui précède,

J^m-i-x-Hx', 0 = Xx^xr, 0»

/'x-x'-a». 0 = — 7'2«-fX'-x. 0 = — Xj^—J^ ^^ ^x— X' f

partant

d'où il suit que le { 2/1 -h a:')»*"« rang horizontal est exactement égal au