LIVRE PREMIER

et, en suivant l'analyse donnée précédemment, il est facile d'en conclure que l'intégrale complète de l'équation proposée (a) est

^{x + xf) étant une fonction arbitraire de a: -h x\ et ^x — x') étant une fonction arbitraire de x — x\ Il est facile d'ailleurs de s'assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu'elle en est l'intégrale complète, puisqu'elle renferme deux fonctions arbitraires. Supposons présentement que, dans la Table suivante

Jo.n

> r^.if

ra,M

on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre les deux colonnes verticales extrêmes

et que Ton connaisse de plus tous les termes de ces deux colonnes ; ou poom déterminer toutes les valeurs de y^p^ qui tombent entre ces colonnes. Car, si Ton veut former le troisième rang horizontal, on obser* venqae l'équation (a) donne

£n disant, dans cette dernière équation, a?'=i, et successivement jr = i,a?= 2, a? = 3, ..., ir = n — I, on aura les valeurs devi^at Ja.j, JKj.i» •••, 7»-i,j» ou le troisième rang horizontal, au moyen des deux premiers rangs horizontaux. On formera de la même manière le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l'infini. Mais, si l'on veut déterminer les valeurs dej^^', qui tombent hors de la Table (Z), les conditions précédentes ne suffisent pas, et il faut leur en ajouter d'autres.

OBwrffi é*L.— VH. 10

n THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Reprenons l'intégrale

et supposons que le second rang horizontal, qui détermine une des deux fonctions arbitraires, soit tel que Ton ait

on aura

rjc,x'—<f(x'hx') +9{x — x').

En faisant a/ = o, on a partant

11 est facile de voir que cette équation satisfait k Téquation proposée (a); mais elle n^en est qu'une intégrale particulière, qui répond au cas où le second rang horizontal se forme du premier, au moyen de l'équation

Tant que x-hx' sera égal ou moindre que n, et que x -- x' sera positif ou nul, on aura la valeur deyj.^j^ au moyen du premier rang horizontal. Mais, lorsque, x croissant, x -\-x' deviendra plus grand que /i, ou lorsque x --x' deviendra négatif, il faudra déterminer les valeurs de Jx+jt/.o ^^ de yx-af,o ^u moyen des deux colonnes verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de ces colonnes soient nuls, et que l'on ait ainsi 7o.^== o ^^yn,x' = o. En faisant x nul dans l'équation

on aura

En faisant ensuite x = n dans la même équation, on aura

Si l'on change ensuite, dans cette dernière équation, x' en n -h x\ on aura