DES FACTEURS ÉLEVÉS A DE GRANDES PUISSANCES

22. On vient de voir que Ton peut toujours ramener à l'intégration (le semblables différentielles les formules données par la théorie des fonctions génératrices. Nous allons donc nous occuper d'abord avec étendue de l'approximation de ce genre d'intégrales.

Si l'on désigne par a, w', w", ... et ç des fonctions quelconques de .r, et par 5, s\ s^\ ... de très grands nombres, toute fonction difTérentielle qui renferme des fonctions élevées à de grandes puissances sera comprise dans le terme (f dx u' u''' u'"" . . . . Pour avoir en série convergente son intégrale prise depuis x = 0 jusqu'à a? = 6, on fera

et en désignant par Y ce que devient y lorsqu'on y change x en 0, on supposera

c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.

On aura ainsi

/ = log —

QEupres de L. ~ VII. 12

Si l'on considère j? comme une fonction de / donnée par cette équation, on aura, en supposant dt constant,

al 1.2 a/* i.a.3 al*

/ devant être supposé nul après les diSerentiations, dans les valeurs de

fijc d^ X

— 5 ^— -» — On a généralement

rf«:c 1,1,1 j dx

'dï^ = drdt'^di'''^'Tr

la caractéristique différentielle se rapportant à tout ce qui la suit, eidi pouvant varier d'une manière quelconque dans le second membre de cette équation; de plus, si l'on difTérentie l'expression précédente de /

en j, et si l'on désigne — ^^^ par v, on aura dt = —\ on aura donc

d'^x vd vdv, . »dv

'dr ~" rfx'»-» '

dx étant supposé constant dans le second membre de cette équation. Ainsi, en nommant U ce que devient u lorsqu'on y change x en 0, la va-

fin »w*

leur de -^ qui répond à a? = 9, ou, ce qui revient au même, à / = o,

sera égale k

UrfUrfU...rfU,

on aura donc

/» tT. UrfU „ UrfUrfU .

i.a.ad 1.2.3. ad*

d'où l'on tire par conséquent

Si l'on prend l'intégrale depuis i = o jusqu'à l infini, on aura généralement

Jt^dicr^:=\ .2.3. . . n;