LIVRE PREMIER
partant
l'intégrale relative à x étant prise depuis x = b jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini.
Nommons Y' et U' ce que deviennent j' et u lorsqu'on y change x en 6' ; on aura pareillement
l'intégrale relative à x' étant prise depuis x = ^' jusqu'à la valeur de a; qui répond à / infini. En retranchant donc ces deux équations l'une de l'autre, on aura
l r j .,v / dV dVdV d.VdVdV \
^ ' ' ,„„,/ dV' dV'dV d.V'dV'dV' \ .
l'intégrale relative à a: étant prise depuis a? = 6 jusqu'à x = 6', en sorte que la considération de / disparait dans cette formule. Si 6 et 6' étaient primitivement renfermés dans yf il ne faudrait faire varier que les quantités 9 et 9' qu'introduisent dans UetU% les changements dex en 6 et 9' dans la fonction v.
La formule (A) sera très convergente, si u ou — ^^~ est une très
petite quantité; or y étant, par la supposition, égal à çm'i/'^V'*', . . . , on a
Vr=: —
S du s' du' f du" I df^
u dx u' dx' u" dx (^ dx
Ainsi, dans le cas où s^s'^ /',... sont de très grands nombres, u sera
fort petit, et si l'on fait - = a, a étant une fraction très petite, la fonc-
tion u sera de Tordre a, et les termes successifs de la formule (A) seront respectivement des ordres a, a', a^, ....
Cette formule cesserait d'être convergente, si la supposition dex = fi rendait très petit le dénominateur de Texpression de v. Supposons, par exemple, que {x — a)** soit un facteur de ce dénominateur; il est clair que les termes successifs de la formule (A) sont respectivement divisés par (0 - af, (6 - a)^»*^*, (6 — a)»»*^*, . . . , et deviendront très considérables, si 6 est peu différent de a; la convergence de cette formule exige donc que (6 — a)**, (6' — a)** soient plus grands que a; elle ne peut conséquemment être employée dans l'intervalle où {x — ay est égal ou moindre que a; mais, dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante.
23. Si Ton nomme Y ce que devient y lorsqu'on y change x en a, il
dr est visible que {x — a)^ étant un facteur de ^» ou, ce qui revient
au m.ême, de — ^— - > (^ — û)»^* sera un facteur de log- • Soit donc
r^Yc-'^-^*,
(logY^log/)»*^»
on aura
X = a '\- vif
'j ne devenant point infini par la supposition de x = a. Si l'on désigne ensuite par U, -^-» -y-â' ... ce que deviennent u, --.- > -^—^ » . . . , lorsqu'on y change x ena après les différentiations, on aura, par la formule (p) du n® 21 du Livre II de la Mécanique céleste,
