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séquent, est égale à ; ; en aorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu que trois cas différents, savoir, croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Gela réduirait la probabilité à ;, si l'on considérait, avec d'Alembert, ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est j, tandis que celle des deux autres cas est j ; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux événements composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant si, conformément au second principe, on ajoute la possibilité { de croix au premier coup à la possibilité { de pile arrivant au premier coup et croix au second, on aura ' pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement; elle sert seulement à réduire les divers cas à des cas également possibles.

Un des points les plus importants de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. SI les événements sont indépendants les uns des autres, la probabilité de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé étant un sixième, celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trentesixième. En effet, chacune des faces de l'un pouvant se combiner avec six facrsdn l'a lit m, il v a trontc-six ras p|:;alcnicnl possibles, pan

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devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier Tait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite; supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à -^ * ^^^^^ ^^ fait, résultante des témoignages, en sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu'à l'extinction de la clarté des objets par l'interposition de plusieurs morceaux de verre, un nombre de morceaux peu considérable suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention k cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives; plusieurs événements historiques, réputés certains, seraient au moins douteux,

si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les

plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'Analyse à la Physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède que d'une manière vraisemblable, quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité dans les conséquences très éloignées du principe.

Quand deux événements dépendent l'un de l'autre, la probabilité iv principe, de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité que, cet événement étant arrivé, l'autre arrivera. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires, la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est f , puisque, sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires ne portant plus que sur les urnes A et B, la proba-

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hilité d'extraire une boule blanche de l'urne B est ^; le produit de | par ^, ou j, est donc la probabilité d'extraire à la fois des urnea B et C deux boules hianchea. Eu effet, il est nécessaire pour cela que l'urne A soit celle des trois urnes qui contient des boules noires, et la pFObabilité de ce cas est évidemment ^.

On voit par cet exemple l'influence des événements passés sur la probabilité des événements futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B, qui primitivement est |, se réduit à; lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C; elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence au moyen du principe suivant, qui est un iM)rollatre du précédent.

Si l'on calcule a priori la prohabililé de l'événement arrivé, et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend, la seconde probabilité, divisée par la première, sera la probabilité de l'événement attendu, tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul, nous serons portés à croire que, dans la constitution de la piëce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté, qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si, par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup, au jeu de croix ou pile, le passé ne peut répandre aucune luil M'rviil .liisiinli'il'.-

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des probabilités semblables relatives à toutes les causes. Si ces diverses causes, considérées apriori, sont inégalement probables» il faut, au lieu de la probabilité de l'événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité par celle de la cause elle* même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'Analyse des hasards qui consiste à remonter des événements aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les événements réguliers à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces événements sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu à% croix ou pile ^ par exemple, la combinaison dans laquelle c/m:r arrive vingt fois de suite est moins facile à la nature que celles où croix et pile sont entremêlés d'une façon irréguliëre. Mais cette opinion suppose que les événements passés influent sur la possibilité des événements futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause là où nous apercevons de la symétrie, ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique comme moins possible que les autres; mais, cet événement devant être l'eflet d'une cause régulière ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table des caractères d'imprimerie, disposés dans cet ordre. Constatainople, et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard, non parce qu'il est moins possible que les autres, puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue, nous ne lui soupçonnerions point de cau^e particulière; mais, ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédents qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard.

C'est ici le lieu de définir le mot extrciordinaire . Nous rangeons, par la pensée, tous les événements possibles en diverses classes, et nous regardons comme extraordinaires ceux des classes qui en comprennent un très petit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile^ l'arrivée de croix cent fois de suite nous parait extraordinaire, parce que le nombre

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presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières, celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche d'une urne qui, sur un million de boules, n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noires, nous paraît encore extraordinaire, parce que nous ne formons que deux classes d'événements, relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n° ^-jBSiS, par exempte, d'une urne qui renferme un million de numéros nous semble un événement ordinaire, parce que, comparant individuellement les numéros les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune raison de croire que l'un d'eux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède, nous devons généralement conclure que, plus un faitest extraordinaire, plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves; car, ceux qui l'attestent pouvant ou tromper ou avoir été trompés, ces deux causes sont d'autant plus probables que la réalité du fait l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

La probabilité d'un événement futur est la somme des produits de la probabilité de cbaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que, cette cause existant, l'événementfutur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules, que l'on remet ensuite dans l'urne, pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que, dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches;

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pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est^; elle égale l'unité, dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits ou -^ sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'événement observé, est, par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de l'événement est comprise dans des limites données est la somme des fractionscomprises dans ces limites. Maintenant, si l'on multiplie chaque fraction parla probabilité de l'événement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante, la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera, par le septième principe, la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite un nombre quelconque de fois, la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités, En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire à cinq mille ans ou à 1826213 jours, et le Soleil s'étant levé constamment, dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures, il y a 1826214 à parier contre un qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui, connaissant par l'ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel ne peut en arrêter le cours.

Buffon , dans son Arithmétique politique , calcule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diffère de l'unité que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre 2 élevé à une puissance égale au nombre des jours écou-

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lés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événemente passés à la probabilité des causes et des événements futurs était inconnuaà cet illustre écrivain.

De l'Espérance.

La probabilité des événements sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque, dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la Uiéorie des hasards, est le produit de la somme espérée par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères, parce qu'un égal degré de probabilité donne un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avaulage espérance malhémalique. viU'prineipe. Lorsquc l'avantage dépend de plusieurs événements, on l'obtient en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu decroùr ou pile Paul reçoive a'' s'il amène croix au premier coup, et 5'' s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant a^' par la probabilité ; du premier cas, et S'^ par la probabilité- du second cas, la somme des produits, ou 3^ et un quart, sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit

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Dans une série d'événements probables, dont les uns produisent un ix- principe, bien et les autres une perte, on aura Tavantage qui en résulte, en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il procure, et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte, et l'espérance se change en crainte.

On doit toujours, dans la conduite de la vie, faire en sorte d'égaler au moins le produit du bien que l'on espère par sa probabilité, au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire, pour y parvenir, d'apprécier exactement les avantages, les pertes et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela une grande justesse d'esprit, un tact délicat et une grande expérience des choses; il faut savoir se garantir des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance, et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre.

L'application des principes précédents à la question suivante a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue à croix ou pile, avec la condition de recevoir 2^^ s'il amène croix au premier coup, 4'"^ s'il ne l'amène qu'au second ; S'*" s'il ne l'amène qu'au troisième, et ainsi de suite. Sa mise aii jeu doit être, par le huitième principe, égale au nombre des coups; en sorte que si la partie continue a l'iniini, la mise doit être infinie. Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique, ^o^' par exemple. D'où vient cette différence entre le résultat du calcul et l'indication du sens commun? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure n'est pas proportionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet, il est visible que i''^ a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que 100 que pour un millionnaire. On doit donc distinguer, dans le bien espéré, sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer, au lieu que la première en est indépendante. On