II INTRODUCTION

ne peut donner de principe général pour apprécier cette valeur relative. En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli, et qui peut servir dans beaucoup de cas.

La valeur relative d'une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien donne toujours au produit de son travail et à ses espérances une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si l'on applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer, on obtient la règle suivante :

En désignant par l'unité la partie de la fortune d'un individu indépendante de ses expectatives, si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilités, le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives; en retranchant donc i'unité de ce produit, la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives ; nous nommerons cet accroissement espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais, lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens

INTRODUCTION. xxi

posant, par exemple, qu'un joueur, ayant une fortune de loo^, en expose 5o au jeu de croix ou pile, sa fortune après sa mise au jeu sera réduite à 87'"', c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur le même avantage moral que Tétat de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée par sa probabilité. On peut juger par là de rimmoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnements et par la cupidité qu'ils fomentent, et qui, portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu'on attend, et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique diminue à mesure que celle-ci augmente*

Des méthodes analytiques du Calcul des probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer aux diverses questions de probabilité exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, et spécialement à la Théorie des combinaisons et au Calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binômes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, . . . , chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises 5 à 5, on observera que, si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binôme, un plus la première lettre : ainsi le nombre des combinaisons

ixii INTRODUCTION.

(les n lettres prises sîis sera le coefficient de la puissance s de la première lettre dans le développement de ce binôme : on aura donc ce nombre par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison en observant que, si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison le premier, le second et le troisième rang, ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangements dont* lettres sont susceptibles est )e produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s ; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier parce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises sas, ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros, dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris s k s. Ensuite on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablemenl sas. Le rapport de ce dernier nombre au précédent est évidemment la probabilité que les s numéros donnés seront compris dans les rnuméros qui doivent sortir; ce rapport est donc la probabilité demandée. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de 90 numéros dont 5 sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d'un extrait donné j ou ^; la loterie devrait donc alors, pour l'égalité du jeu, rendre

INTRODUCTION. xxiu

Supposons dans une urne a boules blanches et h boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule on la remette dans Turne : on demande la probabilité que, dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et /i — m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage esta + 6. Chaque cas du second tirage pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages est le carré du binôme a-\-h. Dans le développement de ce carré, le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par h exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de h exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme a -+- i exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages, et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches et /i — m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme, on aura la probabilité d'amener /n boules blanches et /i — /n boules noires. Le rapport des nombres a et a + h étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage, et le rapport des nombres 6 eta+ 6 étant la probabilité d'amener une boule noire, si l'on nomme/; et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages sera le terme multiplié par la puissance m de/i dans le développement de la puissance n du binôme /> H- y : on peut observer que la somme /i-h y est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme est très utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe pour résoudre les questions de probabilité consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque l'on fait croître les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux diffé-

xiiv INTRODUCTION.

rences ordinaires ou partieUes : ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable ; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Doonons-en quelques exemples.

Trois joueurs, dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire joue avec le troisième, et, s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie. On demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n — i et le gagner, ainsi que le coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup n — i , il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait k ce coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu au coup « — i et le gagnera est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner te coup suivant pour que la partie se termine au coup n, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue n de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux di/- Jèrences firàes ordinaires.

On peut déterminer facilement, à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup, et pour cela il est né- ; dci

INTRODUCTION. xxv

sances : c'est la probabilité que la partie sera terminée au plus tard dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile que Ton ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui le premier aura vaincu Tautre un nombre donné de fois gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu; après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; oo demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu'après ce nouveau coup le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie), alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas le nombre des points qui lui manquent serait diminué d'une unité; ou le joueur B le gagnerait, et dans ce cas le nombre des points manquant à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est ^; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l'unité le premier indice, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

On peut déterminer, à son moyen, les probabilités de À en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque le premier indice est nul, et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est {,

ORwret de L. — Vil. 4

Mïi INTRODUCTION.

l, {, .... suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois, etc. Généralement, elle est alors égale à l'unité moins la puissance de ;, égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité égale

à 7, j, xî suivant qu'il manque à Sun point, ou deux, ou trois, etc.

On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité au moyen de son équation aux différences est longue et pénible. Les géomitres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices qui satisfait à cette équation, en sorte que l'on n'ait besoin, pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes des indices. Considérons cet objet d'une manîëregénérale. Pourcela, concevons une suite de termes disposés surune ligne horizontale, e( tels que chacun d'eux dérive des précédents suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs et leur indice ou le nombre qui indique te rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce qoe je nomme équation aux différences finies à un seul indice. L'ordre ou te degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, au-dessus des termes de la série précédente.

INTRODUCTION. xxyii

Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes, un second plan de séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan; concevons ensuite, au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à Tinfini; supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin, en considérant la chose, d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices, et supposons, entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs : ces équations seront aux diiïërences finies partielles à un nombre quelconque d'indices.

On peut, à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l'équation à un seul indice exige pour cela que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série, de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine étant comprises dans un même système d'équations, toutes les expressions des termoç successifs que l'on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son Ouvrage intitulé Methodus incre-

ixTiii INTRODUCTION.

mentonun, ait considéré les équations linéaires aux difTérences finies. Il y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient et un dernier terme, fonctions de l'indice. A la vérité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l'on a considérées de tout temps sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences ; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui, se rattachant à des théories générales, conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.

Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récurrentes les équations aux différences finies d'un ordre quelconque, à coeflîcients constants. Il parvint à les intégrer d'une manière très ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celte de Moivre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord, il considère la relation entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, ou l'équation à deux termes qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une unité, il la multiplie dans cet état par un facteur constant, et il retranche le produit de l'équation primitive. Par là, il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression ; dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l'équation de la seconde progression, ce qui

INTRODUCTION. xxix

ques, une équation du second degré dont les racines sont ces rapports. Par là, Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques, multipliées chacune par une constante arbitraire, qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d'Alembert a depuis employé pour l'intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficients constants, et que Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites rècurro-rècurrentes, et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d'intégrer toutes ces équations me parait être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices, dont voici l'idée.

Si l'on conçoit une fonction A, d'une variable /, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable, le coefficient de l'une quelconque de ces puissances sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance. A est ce que je nommeyb/iction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si l'on multiplie la série A par une fonction linéaire de la même variable /, telle, par exemple, que l'unité plus deux fois cette variable, le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable sera égal au coefficient de la même puissance dans A, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice, dans le produit, égalera la fonction de l'indice dans A, pluà le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice dans le développement du produit est ainsi une dérivée de la fonction de l'indice dans A, dérivée que l'on peut exprimer par une caractéristique S placée devant cette dernière fonction. La dérivation indiquée par la caractéristique dépend du multiplicateur de A, que nous désignerons par B et que nous supposerons développé, comme A, par rapport aux puissances de la variable t.

i« INTRODUCTION.

Si l'on multiplie de nouveau par B le produit de A par B, ce qui revient à multiplier A par le carré de B, on formera une troisième fonction génératrice, dans laquelle le coeflicienl d'une puissance quelconque de t sera une dérivée semblable du coefTicient correspondant du produit précédent; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique t, placée devant la dérivée précédente, et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coeUîcient correspondant de la série A. Mais, au lieu de l'écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre deux.

En continuant ainsi, on voit généralement que, si l'on multiplie A par la puissance n de B, on aura le coefticient d'une puissance quelconque de la variable t dans le produit en plaçant devant le coelBcieat correspondant de A la caractéristique S avec n pour exposant.

Supposons que B soit l'unité divisée par t; alors, dans le produit de A par B, le coefficient d'une puissance de cette variable sera le coefficient d'une puissance supérieure d'une unité dans A, d'où il suit que, dans le produit de A par la puissance n de B, ce coefficient sera celui de la puissance supérieure de n unités dans A.

Désignons par C l'unité divisée par la variable i, moins un; alors, dans le produit de A par C, le coefficient d'une puissance de la variable sera le coefficient de sa puissance supérieure d'une unité dans la série A, moins le coefficient de cette puissance dans la même série; il sera donc la différence finie de ce dernier coefficient dans lequel on fait varier l'indice de l'unité. Ainsi, danti le produit de A par la puissance n de C, le coefficient sera la différence n**"* du coefficient correspondant de A.

INTRODUCTION. xxxi

le développement du binôme un plus C, on aura, par ce qui précède, les coefficients correspondants en écrivant, au lieu des produits de A par les puissances successives de C, les différences successives de la fonction de l'indice dans A, et en multipliant par cette fonction le terme indépendant de C. On aura donc une fonction quelconque de l'indice augmentée de l'indéterminée n, exprimée par les coefficients de la puissance n du binôme un plus un, multipliés respectivement par la fonction elle-même et par ses différences successives, ce qui donne l'interpolation des séries au moyen des différences de leurs termes consécutifs, en considérant l'indéterminée n comme fractionnaire.

L'équation identique B égale C plus un donne l'équation identique C égale B moins un. En élevant à la puissance n les deux membres de cette dernière égalité et multipliant par A ces deux puissances, dans le produit de A par la puissance n de C, le coefficient d'une puissance donnée de la variable t sera la différence finie n*^°** du coefficient de la même puissance dans A. Dans le produit de A par le développement de la puissance n du binôme B moins un, le coefficient de la puissance donnée de la variable sera la somme des termes de ce développement multipliés respectivement par les valeurs du coefficient de la même puissance dans A, lorsqu'on fait croître successivement l'indice de ce coefficient des quantités /i, n moins un, n moins deux, etc., ce qui donne la différence finie /i'^™® d'une fonction de l'indice, au moyen des valeurs successives de cette fonction.

S désignant la dérivée du coefficient d'une puissance donnée de la yariable t dans A, relative au multiplicateur B, désignons par la caractéristique A la dérivée relative au multiplicateur G. Si dans l'équation B égale C plus un on substitue ^ au lieu de B, et A au lieu de C, par ce qui précède, en élevant les deux membres de cette équation à la puissance /i, il y aura toujours égalité, pourvu que dans chaque terme du développement on place le coefficient de la puissance donnée de la variable dans A, ou la fonction de l'indice, à la suite de chaque puissance des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction

lïxii INTRODUCTION.

le terme indépendant des caractéristiques. La même chose a lieu dans l'équation C égale B moins un, et encore dans l'équation B moins C égale un. En substituant S et A au lieu de B et de C, et élevant les deux membres de cette dernière équation à la puissance n, en développant ensuite le premier membre, l'égalité subsistera, pourvu que dans chaque terme on place la fonction de l'indice à la suite des puissances des caractéristiques S et A et des produits de ces puissances, et que l'on écrive cette fonction au lieu de l'unité dans le second membre, ce qui donne une expression de cette fonction au moyen de ses valeurs successives et de ses différences.

Si l'on applique les mêmes considérations à d'autres valeurs des multiplicateurs B et C, on est conduit à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t représentées par B et C, on peut, dans le développement de toutes les équations identiques qui peuvent être formées entre elles, substituer, au lieu de ces fonctions, les caractéristiques correspondantes t et A, pourvu que l'on écrive la fonction de l'indice à la suite des puissances ou des produits de puissances des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction les termes indépendants des caractéristiques. En effet, il est visible que si, dans un terme quelconque du développement de l'équation entre B et C dont il s'agit, r est la puissance de B et r' celle de C, il faut, pour repasser des fonctions génératrices à leurs coefficients, écrire % au lieu de B, A au lieu de C, et placer le produit des puissances ret r' de ces caractéristiques devant la fonction de l'indice.

On doit observer ici que les équations entre les caractéristiques sont

identiques, comme les équations correspondantes entre B et C. Ainsi

( fiinrlion de l'indiri' ;uif;mrn!é de l'tnilétrrit)in(''c " \rAv une ^vt\c dft

INTRODUCTION. xxxiii

l'intégrale de Téquation que Ton obtient en égalant à zéro la troisième différence de la fonction. Cette intégrale renferme, comme constantes arbitraires, la fonction de l'indice et ses différences première et seconde, relatives au cas de n nul.

Concevons maintenant que A soit une fonction de deux variables i et t\ développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de puissances de ces variables ; le coefficient du produit de deux puissances quelconques sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.

Multiplions A par une fonction B des deux variables i et /', développée par rapport aux puissances et aux produits de ces variables, telle, par exemple, que la première variable, plus la seconde, moins deux; le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coef-

ficient du produit de deux puissances quelconques n et n! des mêmes variables sera égal a ce même coefficient dans A, en y diminuant d'une unité l'indice n de la première variable, plus à ce même coefficient dans lequel on diminue d'une unité l'indice n' de la seconde variable, moins le double de ce coefficient. On pourra exprimer ce nouveau coefficient par une caractéristique S placée devant le coefficient de A. On verra, comme ci-dessus, que le coefficient correspondant dans le produit de A par une puissance quelconque de B sera exprimé par cette caractéristique toujours placée devant le coefficient de A, et à laquelle on donne pour exposant celui de la puissance de B. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

On pourra développer d'une manière semblable une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement des indéterminées n et n\ dans une série ordonnée par rapport aux puissances d'une caractéristique : montrons-le par un exemple. Pour cela, conservons à B la valeur que nous venons de lui supposer. Dans ce cas, la première variable sera identiquement égale au trinôme deux moins la seconde variable plus B ; la première variable, élevée à la puissance n prise en moins, sera donc égale à ce trinôme élevé à la même puissance. Mul-

Cmwretde /.. «- VII. 5

Hxiv INTRODUCTION.

liplions les deux membres de cette égalité par la série A divisée par la puissance n' de la seconde variable, et développons le second membre. Eq repassant des fonctions génératrices à leurs coeflicienis, celui du produit de deux puissances données des variables dans le premier membre sera ce que devient le coefficient du même produit dans A, lorsqu'on augmente ses indices respectivement des indéterminées n etn'. Dans un terme quelconque du développement du second membre, le coetBcient du même produit sera ce que ce terme devient en y substituant, au lieu de B, t aflecté du même exposant et placé devant le coefficient de A, dans lequel on diminue le second indice, de l'exposant de ia seconde variable que l'on supprime. Chaque terme indépendant de fi doit être multiplié par le coefficient de A, dans lequel le second indice est pareillement diminué de l'exposant de la seconde variable que l'on supprime encore. On aura ainsi une fonction des iodices augmentés respectivement de n et de n', par une suite de puissances successives de t placées devant la fonction dans laquelle le second indice sera seul variable.

Si la fonction des indices est telle que, alTectée de la caractéristique S, elle devienne nulle, alors le second membre se réduit à une suite de termes multipliés par la fonction des indices dont le second varie seul. Cette fonction est le développement du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins, les termes successifs de ce développement devant être multipliés respectivement par la fonction des indices, dans laquelle on fait croître successivement le second indice des quantités n', li moins un, n' moins deux, etc. En considérant donc comme fonction des deux indéterminées n et n' la fonction pré-

INTRODUCTION. xxxv

Telle est donc l'intégrale de Téquation aux différences partielles, représentée par l'égalité à zéro de S placé devant une fonction de n et de n\ et il est clair que» pour cette égalité, la fonction des indices dans A doit être telle qu'en y diminuant l'indice n de l'unité, en l'ajoutant a cette fonction dans laquelle n! est diminué de l'unité et en retranchant de cette somme le double de la fonction elle-même, le reste soit nul ; ce qui donne la fonction de n et de n! égale à la moitié de cette fonction dans laquelle n est diminué de l'unité, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle n! est diminué de l'unité. C'est l'équation aux différences partielles, représentée par la condition de !i nul.

Cette équation est celle à laquelle on est conduit par la considération du problème proposé par Pascal à Fermât, et dont nous avons parlé ci-dessus ; n et n! sont ici les coups qui manquent au premier et au second joueur pour gagner la partie, et la fonction de ces indices est la probabilité qu'elle sera gagnée par le premier joueur. Cette probabilité devient l'unité, lorsque n est nui, et jamais, n étant nul, n! ne peut être zéro ou négatif, en sorte qu'il faut rejeter de l'intégrale précédente tous les termes dans lesquels cela existe. De là il suit que la probabilité du premier joueur pour gagner la partie est égale aux n! premiers termes du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins. Telle est la solution générale de ce problème.

De plus amples développements de la méthode que nous venons d'exposer seraient difficilement entendus sans le secours de l'Analyse. Nous observerons seulement que, A exprimant une fonction de la variable /, développée en série; B étant l'unité divisée par la variable, moins un, et C étant l'unité divisée par la puissance i de la variable, moins un; le produit de A par une puissance quelconque /i de B sera la fonction génératrice des différences n'*"** des coefficients de la série A, l'indice variant de l'unité; le produit de A par une puissance n! de C sera la fonction génératrice des différences n*^"** des mêmes coefficients, l'indice variant de i. Ainsi, ^ et A étant supposés être les caractéristiques correspondantes à B et à C, toutes les équations identiques que l'on peut former entre B et C donneront, en y changeant ces

xïXTi INTRODUCTION.

quantités dans leurs caractéristiques, autant d'équations identiques entre ces caractéristiques, pourvu que dans le développement de ces équations on place les puissances et les produits de puissances de ces caractéristiques devant la fonction de Findice.

Si ce développement donne aux caractéristiques des exposants négatifs, elles indiqueront alors des intégrales finies. En effet, le produit de A par la puissance n de B étant la fonction génératrice des différences n'™" des coefficients de A, ces coefficients sont les intégrales n''""' des coefRcients de la fonction génératrice que forme ce produit ; d'où il suit qu'une fonction génératrice, multipliée par B élevé à la puissance n prise en moins, est la fonction génératrice des intégrales firmes jgg coefficients de cette fonction. Les puissances négatives de ^, placées devant ces coefficients, indiquent par conséquent des intégrales, ce qui donne la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Il est facile de voir que C est égal à la puissance i du binôme un plus B, en retranchant l'unité, de cette puissance. Si l'on élève à la puissance n les deux membres de cette égalité, elle subsistera toujours, quels que soient n et son signe;- en changeants et C dans leurs caractéristiques S et A, et en observant que les caractéristiques négatives expriment des intégrales, on aura par le développement du second membre les diiTérences et les intégrales dans lesquelles l'indice varie d'une quantité quelconque (, par une suite de différences et d'intégrales dans lesquelles l'indice varie de l'unité. Si l'on suppose ^'infiniment petit, tes résultats subsisteront toujours et se simplifieront en rejetant

INTRODUCTION. xxxvii

équations. Les résultats transcendants du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.

Le passage du fini à l'infiniment petit répand un grand jour sur la métaphysique du Calcul différentiel. On voit clairement par ce passage que ce calcul n'est que la comparaison des coefficients des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série de fonctions identiquement égales des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l'on néglige comme infiniment petites d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve, et qui semblent par cette omission ôter à ce calcul la rigueur de l'Algèbre, ne sont que des puissances de ces différentielles, supérieures aux puissances dont on compare les coefficients, et qui par là doivent être rejetées de cette comparaison, en sorte que le Calcul difîérentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques. Mais dans ses applications à la Géométrie et à la Mécanique, il est indispensable d'introduire le principe des limites. Par exemple, la sous-tangente d'une courbe étant la limite géométrique de la sous-sécante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse à mesure que les points d'intersection de la sécante avec la courbe se rapprochent, l'expression analytique de la sous-tangente doit être pareillement la limite de l'expression analytique de la sous-sécante; elle est par conséquent égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l'intervalle qui sépare les ordonnées des deux points d'intersection.

On peut encore envisager la tangente comme la droite dont l'équation approche le plus de celle de la courbe près du point de contingence. L'ordonnée de cette courbe étant une fonction de l'abscisse, si à partir de ce point on fait croître l'abscisse d'une quantité indéterminée, suivant les puissances de laquelle la fonction soit développée, il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développe-

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ment sera l'ordonnée de lii droite la plus approchante de la courbe ; elle sera, conséquemment, l'ordonnée de la tangente, et le coefficient de l'indéterminée dans le second terme exprimera le rapport de l'ordonnée à ta sous-tangente. Il est facile de prouver par le principe des limites que toute autre droite menée par le point de contingence entrerait dans la courbe près de ce point.

Celte manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression des sous-tangentes est due à Fermât, qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique Ë l'accroissement de l'abscisse, et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine, exactement comme on le fait par le Calcul difîérentiel, les sous-tangentes des courbes, leurs points d'in0exion, les maxima et minima de ieurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes, qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationn alités par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce Calcul plus analytique dans sa méthode des Fluxions, et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel d'une notation qui. en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités, notation qui s'est adaptée d'elle-même au calcul des

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multipliant sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événements devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles, multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient, par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes el de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales les expressions compliquées de l'Analyse et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées, ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices, dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d'autant plus de rapidité que la formule qu'elle représente est plus compliquée, en sorte qu'il est d'autant plus exact qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre; quelquefois elle dépend d'autres transcendantes, dont le nombre est infini.

Une remarque importante, qui tient à la grande généralité de l'Analyse et qui permet d'étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l'induction et à l'ana-