LIVRE PREMIER

déterminé ses arbitraires, on aura

De là et (le ce que l'équation (i) est linéaire, il est facile de conclure que, si S est égal à

-^- /f [^ + ^V ' * -^ ^Ts i> - 1 ) -h . . . ]

en nommant ^', . . . ce que devient ^ lorsqu'on y change successivement^, /, /^*\ ... en/i,, /|, /',*\ . . ., en /^a, . . ., on aura

la pcefliiere intégrale étant prise depuis x =^ h jusqu'à x -^p, la seconde étant prise depuis a? = A jusqu'à iT =/?,, .... Cette valeur de v, ne renferme aucune constante arbitraire; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de S nul, on aura l'expression complète de 7,.

30. Supposons maintenant que l'on ait un nombre quelconque d'équations linéaires aux différences finies entre un pareil nombre de variables^y,, r^, v], . .., et. dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de s. Faisons alors

ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déterminées et indépendantes de 5. Nous aurons

\jrsz=ijx*[x — ijcprfx, ^^jrs=fx'{x — 1)^9 dXy iy,=fx'{x^i)<^'dx, A27;=/^^(x-i)29'rf^,

^s équations dont il s'agit pourront ainsi être mises sous les formes suivantes

S=/jF'zrfx, S'=fx'z'dxy ^''=:fx'z"dx,

S, S', S", ... étant des fonctions de * seul, et 5, a", s", ... étant <!. fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de ir, 9, « ip", .... dans lesquelles f, f' ... sont sous une forme linéaire. Considérons d'abord l'équation

S^fx'zdx, on a

- = z + jAZ + liLr L] ^iz + it£-=-iiil^i2] a«z -+-... ,

U caractéristique A des différences Bnies étant relative à la variable et Z, SZ, . . . étant ce que deviennent s, As, . . . lorsqu'on y supp«i» 5 — o. On aura donc

^fx' dx fz + » AZ -f- *~^ A»Z -+- . . .1.

l'équation précédente devient ainsi

d'où l'on tire, en intégrant par parties comme dans le numéro préc* dent, les deux équations suivantes

d(jr&Z) d'jx'A'Z) dx ""

traitée de la même manière, donnera

dx I . a . dx'^

{1^) \ . dix Ix'^l^^lJ

dx

Les équations Ç/' =Jaf z" dx, S"*=fx*z"' dx, ... produiront des équations semblables, que nous désignerons par (a"), (A"); (a"), (A*');

Les équations (a), (a'), (a"), . . . détermineront les variables o, ç', ç'', ... en fonction de x, et les équations (i), (A), (i"), . . . détermineront les limites dans lesquelles on doit prendre les intégrales fx'z dx,

fjc'z'dx, L'une de ces limites est a? = o. Pour avoir les autres, on

supposera d'abord S, S', S", . . . nuls; les constantes C, C, C", ... seront par conséquent nulles dans les équations [h), [b'), ..., puisque la supposition de j? = o rend nuls les autres termes de ces équations.

En égalant ensuite séparément à zéro les coefficients de 8r, — t-^^ ••• dans ces mêmes équations, on aura les suivantes :

O — — X ^Mj """— « ~T~ • • • •

\ ,*x,ax

o ~ .r AZ i — ' -{- . . . ,