LIVRE PREMIER

d* une intégrale définie. L'intégration de l'équation (i) aux différences finies est donc ainsi ramenée a l'intégration de l'équation (2) aux différences infiniment petites et à une intégrale définie.

Considérons présentement l'équation (3) et faisons d'abord S = o.

SîJ'on suppose que Sy, -^> "^a ' ' ' ' deviennent nuls au moyen d'une

même valeur de .r, que nous désignerons par h, et qui soit indépendante de 5, il est clair qu'en supposant C nul, cette valeur satisfera à réqualion(3), et qu'ainsi elle sera une des limites entre lesquelles on doit prendre l'intégrale /Syçctr. La supposition précédente a lieu visiblement dans les deux cas de ^y = x^ et de 8y = cr^^; dans le premier cas, l'équation a? = o, et dans le second cas, l'équation x =^cc rendent

nulles les quantités Sy, -t^> 7y~a"' "" ^^^^ avoir d'autres limites de

rintégrale /Syçctr, on observera que, ces limites devant être indépendantes de 5, il faut, dans l'équation (3), égaler séparément à zéro les

coefïcients de Sy, ^> •••» ce qui donne les équations suivantes :

équations sont au nombre de i, si i est l'ordre de l'équation diffétielle (a); on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes les con- ^^utes arbitraires de la valeur de <p, moins une, et l'on aura une équa- ^^Oti finale en x^ dont les racines seront autant de limites de l'intégrale ^^j'ydlr. On cherchera par cette équation un nombre de valeurs dif- *^rcntes de a?, égal au degré de l'équation différentielle (i). Soient 9% ^'^ y<*>, ... ces valeurs; elles donneront autant de valeurs différentes de f , puisque les constantes arbitraires de 9, moins une, sont ^^terminées en fonctions de ces valeurs. On pourra ainsi représenter

les valeurs de ç correspondantes aux limites q^ y^'^ ^^\ . . . par B^, B(OV*), B<^^V»>, ..., B, W\ W^\ ... étant des constantes arbitraires, et Ton aura, pour la valeur complète de j,,

l'intégrale du premier terme étant prise depuis a: = h jusqu'à x = q, celle du second terme étant prise depuis x=^h jusqu'à a7 = y^'^ et ainsi du reste. On déterminera les constantes B, W\ ... au moyen d'autant de valeurs particulières de j,.

Supposons maintenant que, dans l'équation (3), S ne soit pas nul. Si l'on prend l'intégrale f^y(fdx depuis x = h jusqu'à x égal à une quantité quelconque p, il est clair que l'on aura C = o, et que S sera ce que devient la fonction

lorsqu'on y change x en p. Ainsi, pour le succès de la méthode précédente, il est nécessaire que S ait la forme de cette fonction. Faisons, par exemple, Sy = x\ et

en comparant cette valeur de S à la précédente, on aura

dx

X devant être changé enp dans les seconds membres de ces équations, dont le nombre est égal au degré de l'équation différentielle (2). On pourra donc, à leur moyen, déterminer les constantes arbitraires de la valeur de 9, et si l'on désigne par ^ ce que devient 9 lorsqu'on a ainsi