LIVRE PREMIER

di/réreoces sont des fonctions rationnelles de s, que Ton peut toujours rendre entières en faisant disparaître les dénominateurs. Si Ton dé- 5/^e, comme ci-dessus, par y,, y,, ... les variables principales de ces équations, et si Ton fait

on aura

dy d^ y

-^ =S^' ? ^^ 'Ogor, -^ —fx' 9 dx (loga:)3,

^jrs=ijx^[x -— i) ^dxy ^^ys^=fx^[x — i)^ c^dxy

dr

-^ =fx* <p' dx logx,

Les équations proposées prendront ainsi les formes suivantes :

S=fx^zdXf S* =fx^z' dXf ....

En les traitant par la méthode précédente, on déterminera les valeurs "® ?• ?'. ... en fonction de x^ et les limites des intégrales /.r'<pr/r, f^^^'dx,

En faisant

Xs =^fc^ ? dx, r's ^J'f^''" i dx, . . . ,

^■^ parviendrait à des équations semblables. Dans plusieurs circon- **^nces, ces formes de j,, y g, ... seront plus commodes que les précédantes.

3t. La principale difficulté que présente l'application de la méthode

P'^édente consiste dans l'intégration des équations différentielles li-

^^^ires qui déterminent 9, 9', 9", ... en .r. Les degrés de ces équations

^^ dépendent point de ceux des équations aux différences en j,»ji, ...;

^*^ dépendent uniquement des puissances les plus élevées de s dans

^^urs coefficients. En ne considérant donc qu'une seule variable j„

i^oation différentielle en 9 sera d'un degré égal au plus haut expo-

*^ni dei dans les coefficients de l'équation aux différences en j,. L'é-

qualion différentielle en 9 ne sera ainsi résoluble généralement que dans le cas où ce plus haut exposant est l'unité. Développons ce cas fort étendu.

Représentons l'équation différentielle en y, par la suivante

V et T étant des fonctions linéaires de la variable principale j^ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Si Ton fait

^y étant égal à or* ou à c"'^, elle deviendra

o=/<prfxf Md[^-+-N -^-^)i

M et N étant des fonctions de a;; on aura donc, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes :

o = C -+■ N 9 dy,

La première donne, en l'intégrant,

H étant une constante arbitraire. Supposons G nul dans la seconde équation ; a: = o ou a? = 00 sera l'une des limites de l'intégrale f^ytfcLr^ suivant que l'on prend x' ou c"'^ pour ^y. On déterminera les autres limites en résolvant l'équation o = N(p?{y.

Appliquons à cette intégrale la méthode d'approximation du n^ 23. Si l'on désigne par a la valeur de x donnée par l'équation

et par Q ce que devient la fonction N9 ^y, lorsqu'on y change a: en a,

on fera

N9*r=Qc-«\