LIVRE PREMIER

ce qui donne

t = v'IogQ — Iog(N9] — logo/-.

log^y est de l'ordre 5; si Ton suppose s très grand, et si Ton fait- = a, a sera un très petit coefRcient. La quantité sous le radical prendra cette forme ^^^^^ x, X étant une fonction de a? — a et de a; on aura donc,

par le retour des suites, la valeur de ^r en /, par une série de cette forme

Maintenant, j"^ étant égal à f^yfdXf si l'on substitue dans cette intégrale au lieu de çSj sa valeur^ » elle deviendra Q f -^ c~^*l et si dans -|^ on substitue pour ^ sa valeur précédente en /, on aura y, par une suite de cette forme

les limites de l'intégrale relative a t devant se déterminer par la condition qu'à ces limites la quantité NçSy ou son équivalente Qc'' soit ^ulle, d'où il suit que ces limites sont t = — co et / = 00 ; on aura ^onc, parle n^24,

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t.te expression a l'avantage d'être indépendante de la détermination limites en 07, qui rendent nulle la fonction N^^v, en sorte qu'elle siste dans le cas même où cette fonction, égalée à zéro, n'a point de cines réelles ; elle subsiste encore dans le cas de s négatif. Cette rerque, analogue à celle que nous avons faite dans le n"^ 25, et qui tient ^^Oinme elle à la généralité de l'analyse, est très remarquable en ce ^la'elle donne le moyen d'étendre la formule précédente à un grand Nombre de cas auxquels la méthode qui nous y a conduits semble d'abord se refuser.

Cette formule ne renferme que la constante arbitraire H, et par con-

séquent elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation différentielle proposée en j^, si cette équation est d'un ordre supérieur à l'unité. Pour avoir dans ce cas l'intégrale complète, il faudi*a chercher dans l'équation o = rf(NçSy) autant de valeurs différentes de x qu'il y a d'unités dans cet ordre. Soient a, a', a"^ ... ces valeurs; on changera successivement, dans l'expression précédente dey,, a en a', a'', ..., et H en H^ H'', ... ; on aura autant de valeurs particulières qui renfermeront chacune une arbitraire, et dont la somme sera l'expression complète dey,.

Quand les coefficients de la proposée en/, renferment des puissances de s supérieures à l'unité, on peut quelquefois décomposer cette équation en plusieurs autres qui ne renferment que cette première puissance. Si l'on a, par exemple, l'équation

M étant une fonction rationnelle et entière de 5, on mettra cette fonction sous la forme

on fera ensuite

II est facile, par ce qui précède, de déterminer 5,, ^„ ... en intégrales définies, et de réduire ces intégrales en séries convergentes, lorsque s est un grand nombre. On aura ensuite

Dans plusieurs cas où l'équation différentielle en 9, étant d'un ordre supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement, on peut déterminer (p par une approximation très convergente; en substituant ensuite cette valeur de 9 dans l'intégrale /r'çûtr, on peut obtenir d'une manière fort approchée la valeur de cette intégrale.