LIVRE PREMIER

on aura ainsi

dfs 0-° sT- '

L'intégrale relative à x devant s'étendre entre les deux limites qui rendent nulle la quantité —9 il est clair que l'intégrale relative à xs doit s'étendre depuis ct = — 00 jusqu'à ct = oo; en réunissant donc

les deux quantités , , .^ et , f=-^> Qui répondent aux

mêmes valeurs de zj affectées de signes contraires, on aura

(/*-Hg\/-l)''+(ft-BIV/-l)'*

COSIiJ ; — r ~r-

l'intégrale relative à vj étant prise depuis t? = o jusqu'à t? = oo . Si l'on développe les quantités sous le signe /, les imaginaires disparaissent, et il ne reste qu'une fonction réelle que nous désignerons par Qdu; on aura ainsi

partant

(,)#-|i5 «/Qrf©

Voyons présentement quelle fonction de 5 est j,. Pour cela, reprenons l'équation primitive

en y changeant 5 dans — 5, et faisant y^, = u,, elle devient

0 = (*— l)Wx-h M,|,

équation dont l'intégrale est

(,)^|tY

"'-l^ii + ^llaH-fx)...!.-!)-^-"

Y étant, comme ci-dessus, égal à j.^. Si Ton compare cette expression de j», à la précédente, et si Ton observe que ^ — |jl est un nombre entier et qu'ainsi Ton a (— 1)^'"^^= i , on aura

/xv/2irc-»*(i-^^-f-^-...)

fQdjs

En divisant les deux membres de cette équation par 5 et les renversant

ensuite, on aura

(fx -4- i) (fx -t- a) (fi 4. 3). . .5 = ^it-' (i-h -i- -H . . .)/Q rfo.

Si Ton compare cette équation à la formule {q') du numéro précédent, on a ce résultat remarquable

Je suis parvenu à cette équation générale dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour Tannée 1782, par l'analyse précédente, fondée, comme on voit, sur le passage du réel à l'imaginaire. En faisant successivement, dans Q, |JL = f , (JL= 2, [JL — 3, .. ., on aura les valeurs d'un nombre infini d'intégrales définies; ainsi, dans le cas de [i. = 1, l'équation (0) donne

dfsi (cosCT 4- çTsinio) tt