a>)(4-/x.)...(,--p^) = Jt-^dtc-.Ji^dt^r

L'équation (T) du n^ 24 donne

sin TT

En faisant n = i eiiL = r— i^ on a

•^ ^ sm/xTr

on a donc

Si Ton fait pi infiniment petit, cette équation donne

-aj' < qIs'»

divisant donc Téquation précédente par celle-ci, on aura

sb^=,,|,-,.,(,-^)(.-^)...(,-s!)(,-tf^...).

^' l*on fait s' infini, on a pour l'expression de sinç, ç étant égal a (x-, '® produit infini

expression de sinç est ainsi décomposable dans une infinité de fac-

-^M, ce que Ton sait d'ailleurs.

En supposant ç imaginaire et égal à 9' v/— i , sinç devient ^ ~— ;

^'^ a donc

iSk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

et en faisant ^ infini, on voit que df'— c-f est égal au produit infini

On aura, par un procédé semblable, le produit continu de facteurs dont le terme général est une fonction rationnelle entière ou fractionnaire de s. Mais l'expression à laquelle on parviendra pourra contenir d'autres transcendantes dépendantes d'intégrales définies de la forme

On peut observer ici que, ces produits étant mis sous la forme Jaffjfdx, leur différentiation par rapport à la variable s présente une idée claire, et alors on a pour cette différentielle Joo*ffdx logo?.

Les expressions de y, données par les formules [q) et (^) du numéro précédent ont encore lieu, suivant la remarque du n^ 30, dans le cas où 5 et (A sont négatifs, quoique dans ce cas l'équation

qui détermine les limites de l'intégrale définie qui représente la valeur dey,, n'ait pas plusieurs racines réelles. Si, dans la formule [q] du numéro précédent, on change s dans — s ei \l dans — |jl, elle devient

(-.)'/ ij

dxcr^

Y étant la valeur de y qui répond à 5 = — (i. Toute la difficulté se ré-

— —' Pour y parvenir, il faut suivre le même procédé dont on a fait usage pour réduire en série l'intégrale Je^afdx. On fera donc

— [A étant la valeur de x donnée par l'équation