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logie, employées depuis longtemps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiaDce, un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé Calcul des fonctions génératrices l'ensemble des méthodes précédentes; ce calcul sert de fondement à l'Ouvrage que j'ai publié sous ce titre : Théorie analytique des Probabilités. 11 se rattache à l'idée simple d'indiquer les multiplications répétées d'une quantité par ellemême ou ses puissances entières et positives, en écrivant vers le haut de la lettre qui l'exprime les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation, employée par Descartes dans sa Géométrie etgénéralement adoptée depuis la publication de cet important Ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre a posé les fondements des calculs modernes. Mais la langue de l'Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis, qui, dans son Ouvrage intitulé : Arithmetica infinitorwn, l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'Analyse, s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, considéra que, si l'on divise l'exposant d'une lettre par deux, par trois, etc., le quotient sera, suivant la notation cartésienne et lorsque la division est possible, l'exposant de la racine carrée, cubique, etc., de la quantité

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leur division revient à soustraire Texposant de la puissance diviseur de celui de la puissance dividende» lorsque le second de ces exposants surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second, ce qui rend la différence nulle ou négative. Il supposa donc qu'un exposant négatif indique Tunité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monômes, d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binômes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses, où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l'une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées, résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposants fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldenburg, la notation de ces puissances par des exposants fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficients, et il rétendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent sou influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont, en effet, que les exposants d'une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est

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c^le des exposants variables, ce qui constitue le calcul exponentiel. l'uDe des branches tes plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite d'une variable se réduit, en dernière analyse, k des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication etde division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme l'exposantde la puissance qui lui est égaie dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposants qu'aux grandeurs; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'unemème grandeur, indiquent les différentialions répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles et des puissances négatives avec les intégrales. I^grange a suivi celte analogie singulière dans tous ses développements, et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme l'une des plus belles applications que l'on ait faites de cette méthode, il est parvenu à des formules générales, aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différencesel des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Mais

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