Considérons maintenant l'équation générale

o = (a' -h b's)xs+i — (^ -f- l^s)xs'

Si Ton fait

elle prend cette forme

o = (n' 4- 5 4- I ]Xs+\ — [n-\-s] py,.

Supposons nous aurons, en intégrant par parties,

o=r jT* ^[x — p) -^fx^-* [ (j)dx[n'x — np) -\- [p -- x]x JcpJ.

Celte équation donne, pour déterminer cp, la suivante

o := ( n'x — np] (f dx -h (p — x) X rfcp,

^loù Ton tire, en intégrant,

A étant une constante arbitraire. On aura ensuite, pour déterminer les /imites de l'intégrale, l'équation

OU

OÊmret d4 L. ^ m. 18

Ces limites sont donc x = o et x = p^ si n-^s et n'-+- 1 — w sont des quantités positives. Ainsi l'on aura, en prenant l'intégrale dans ces limites.

On déterminera la constante A, au moyen d'une valeur particulière de V,. Soit y^ cette valeur ; on aura

*^ ri*

par conséquent,

Intégrons présentement l'équation proposée aux différences en^,. Son intégrale est

^ (n-4~fx)(n>t-;A-4-i)...(/i-4-i-i)

Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de s qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque s est égal à (A + I ; il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de s égale à [jl, le numérateur et le dénominateur se réduisent à l'unité qui est censée les multiplier l'un et l'autre. Si l'on compare les deux expressions précédentes dey,^ on aura

[n' -h II -h i) [n' -^ IJL -h 1] . . .{n' -^ s)^ Jx*'^V--^dx[p — x)

Faisons /i — a? = pa* ; le second membre de cette équation deviendra

les intégrales étant prises depuis u = o jusqu'à ii= i, parce que ces limites répondent aux limites x =petx =2 o. On a donc

iit-*-j^i

:'/> -4-fx] (/i-h.a-t-i)...;/i-i-5 — f ) __ fu^"'-^'''*-* du{i — u^y