I .2.3. . .5 TT

Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme

/ ^ Oc

moyen, OU indépendant de a, du binôme (- +a| ; on aura donc, au

moyen des méthodes précédentes, ce coefficient par une approximation rapide, lorsque s est un grand nombre. Pour cela, nous ferons

qui donne

— ntt

et

fdu[i~u^) *=zfduc-f\

Supposons

En prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura

^l Ce dernier membre est égal à

On aura donc» en comparant cette quantité au premier membre et réduisant au même dénominateur, Téquation générale

21 — 12 ,. - ^^ . ^ \i /. nH • • • >

q^^^ étant égal a l'unité. Si l'on fait successivement dans cette équation 1 = 1, 1=2, 1 = 3, ..., on aura les valeurs successives ^^*\ q^^\ q^*\ ..., ot l'on trouvera

On aura ensuite

Jdu(i — u^] '= «•/rf/c-''(i-4-3«9f«>/» -h 5a»ç(>)/* H- 7a»^(») /•-!-...;.

L'intégrale relative à u devant être prise depuis u = o jusqu'à li = i, l'intégrale relative à t doit être prise depuis i nul jusqu'à / infini; on aura donc, par le n^ 24,

partant,

Ainsi l'on aura, par une suite très convergente, le terme moyen, ou

indépendant de a, du binôme (--ha) .

On parviendra plus simplement à ce résultat par la méthode suivante, qui peut s'étendre à un polynôme quelconque.

35. Nommons y, le terme moyen, ou indépendant de a, du binôme (~-+-aj , ou, ce qui revient au même, le terme indépendant de

fftay/^i dans le développement du binôme {c^ ^-^ -¥- c-^ ^y . Si l'on multiplie ce développement par dxs et qu'on l'intègre depuis xs nul jusqu'à tj = ^TT, il est facile de voir que cette intégrale sera | wy,, et qu'ainsi l'on a