LIVRE PREMIER. U

On déterminera de la même manière le terme moyen d'un polynôme quelconque, élevé à une très haute puissance. Supposons d'abord le nombre des termes du polynôme impair et égal à 2/t + i, et représentons ce polynôme par

H- --— r +...H hl-f-flH-.. .H- a"-» -\- a".

En substituant cF>^ pour a, ce polynôme devient

i -4- a cosGH- 1 C0S2CJ +. . . -4- 2 costim;

sin Gj

or cette fonction est égale à — ^—i— — *? 1^ puissance s du polynôme

est donc

sin^cj

sm xs

sin^io

I..e terme moyen de cette puissance est le terme indépendant de u dans son développement en cosinus de Tangle u et de ses multiples. On aura éYidemment ce terme en multipliant la puissance par dm, on prenant

ensuite l'intégrale depuis xj = o jusqu'à tj = x et en la divisant par x.

Ce terme est donc égal à

(. 2/1 H- I \ * sm cj sin^Gj

sm Ts

Ia condition du maximum de .—. donne l'équation

lang m= (2/n- ijiangicj.

'' y a, depuis CF nul jusqu'à ct = tt, plusieurs maxima, alternativement f^itifset négatifs. Le premier répond à ts nul et donne

sm Bj \

sin^iij / ^ '

ikk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Pour avoir l'intégrale précédente, depuis ce maximum jusqu'au point

sin m

où — / est nul, ce qui a lieu d'abord lorsque u= » on

sin^iij '1 T 2/1-1-1

fera

sin m

sin^GT

En prenant les logarithmes et réduisant en série, relativement aux puissances de t?, la fonction

. a/i-4- I sin fs

s log .—. j

on aura

ce qui donne

aw ~— h. . .;

rintégrale précédente devient ainsi

Elle doit être prise depuis / nul jusqu'à t infini; car à l'origine, ou

lorsque u est nul, / est nul, et à la limite, où a = » / est infini;

cette intégrale devient donc, en ne considérant que le premier terme et négligeant les suivants, qui sont par rapport à lui de l'ordre ~«

Le second maximum est négatif, et répond à une valeur de ^^ "^' o comprise entre fw et f ?:. En effet, l'équation du maximum

lang isT=(2/i4-i)langjBj