LIVRE PREMIER. IW

à laquelle il est élevé» le terme moyen du développement sera, lorsqu'il y en a un,

s'il

et, pourqu'ilyait un terme moyen, {n' — 1)5' doit être un nombre pair, c'est-à-dire que l'un ou l'autre au moins des nombres n'— i et s' doit être pair.

36. L'analyse précédente donne encore le coefficient de a^ dans le développement du polynôme

Pour l'obtenir, on observera que le coefficient de a'' dans le développement de ce polynôme est le même que celui de a~''; en nommant

donc A^ ce coefficient, en faisant a = c^>^* et réunissant les deux termes du développement relatifs à a'" et a''', on aura 2A^cosrCT pour leur somme. Maintenant, si l'on multiplie ce polynôme ou sa valeur

sm fs\

— -7-, y par ducoslzSf et qu'on intègre le produit depuis ni — o

jusqu'à o = :7, il est clair que tous les termes disparaîtront, excepté celui oii rest égal à /; l'intégrale se réduira donc à lAtfdxsco^^lxs, w qui donne

sm- Bj

sin^in

Pour intégrer cette fonction, on fera, comme ci-dessus,

(. 2n-f-i \' sm w \ ^r /={2/n-i)'c>-''.

'^^ prenant les logarithmes et développant par rapport aux puissances ^^ o,on aura, par le retour des suites, pour u, une expression de cette

forme,