D/E dOfY^{m) dm H- IV y 'E' dOfF' o(w) dm -h
Supposons qu'il n'y ait qu'un seul terme affecté du double signe / / , on aura
5 iz: A 9(nj) -h A' 9i(gj) -h. . .
-4- B^C 9(cy) dm H- B'fC o{m) dm -\-, , .-h DfEdO /'F o{m)dm,
Hn substituant cette valeur de :; dans l'équation (Z)* on aura une équation de cette forme
H fL(^(m)dm-hn' fVo(m)dm'^...
M9'(iiy)-f-M'9(cj)-f-
Si la quantité -rx -h mD n'est pas nulle, en faisant
,^ âm dO àm âS
^ = dD 1 '
AUX D1FFÉU£NC£S PARTIELLES. 59
de
-hm\)
ir
oo
-h/nD
àl)
âO
011 aura
= P / L9(iiy)rfe4-. . .H-N9'(iiy)-+-. ..; cette équation diilërentiée par rapport à 0 donne
~ f¥o(w)dm-\'^ fEdof¥^{w)dm^-KY.fv^{m)dw
Si -T^ n'était pas nul, il est clair que j Vjdd f F9(ci)rfry serait donné
en termes sans / et en termes affectés du simple signe / , ce qui est
contre l'hypothèse; on a donc
âK
To^^^
partant K est fonction de rr seul; on aura, cela posé, en multipliant cette équation par e^^^^^dus, elle devient
en intégrant par rapport à a, et faisant
V = TEF d9, R = fPef^"" dm,
on a
/V""'Erf0 l'F^(t!!)dm— fVef'^'"'o{m)din Donc
d'où Ton voit que / Erfô / Fo(ci)r/cT est donné en termes affectés du
, ce qui ne se peut. Il résulte de là que, daits Téquation (R), on a
ai) n
mais on doit pareillomcnt avoir
sans quoi J Ed^ f¥rf(x3)du serait donné en termes affectés du simple signe / ; présentement, si Ton a les deux équations
et
il est clair que Téquation
satisfera à Téquation différentielle (Z). On voit donc que le raisonnement de Tarticlc X s'applique également au cas dans lequel l'expression de z renferme un terme affecté du simple signe J; on prouvera, par un raisonnement analogue à celui de l'article XI, que, si l'expression de z renferme deux termes nécessairement affectés du double
signe / r, l'équation*
^^ 5 = D9(w)4-D'9(cj)
satisfera à Téquation différentielle (Z). Et comme les mêmes raisonnements ont lieu, quel que soit le nombre des termes affectés du signe / , et quel que soit le nombre de ces signes dans chaque terme, on doit en conclure généralement que, toutes les fois que l'intégrale complète de l'équation (Z) est possible en termes finis, elle est nécessairement débarrassée du signe T, par rappolt à l'une ou l'autre des fonctions arbitraires <p(gj) ou ^(^) et, dans ce cas, on peut toujours obtenir cette intégrale, par la méthode de l'article VII. On voit ainsi que cette méthode donne généralement les intégrales complètes des équations linéaires aux différences partielles, lorsqu'elles sont possibles en termes finis; ayant une fois ces intégrales, il ne peut rester de difficulté que dans la détermination des fonctions arbitraires; or la méthode de l'article VII a encore l'avantage de donner, un moyen très simple pour cet objet, dans un cas trës général et qui parait être celui de presque tous les problèmes physico-mathématiques.
L'équation
âx* dx ày dy* * dx dy
étant donnée, son intégrale complète, si elle en est susceptible, renfermera deux fonctions arbitraires 9(0) et '^(0), de manière que Tune ou l'autre de ces fonctions y existera sans être affectée du signe / ; supposons que ce soit 9(^7). Pour déterminer maintenant la nature des fonctions <p(cr) et ^'C^)» supposons que l'on ait les valeurs de z et
^ ou de s et -p à l'origine de l'intégrale ; cette origine est déterminée»
ou parce que, à ce point, l'une des deux variables a? ou j^ est constante ou nulle, ou parce que l'une est donnée en fonction de l'autre; supposons, conséquemment, que l'on ait à l'origine de Tintégrale
y = l{x\ i = n(^) et P±^^Y{x).
•J(a;), U(x) et r(x) seront des fonctions coanues de x.
Si Ton transforme Téquation (L) dans la suivante
il est clair : i° que, u et 0 étant donnés en fonction de a: et de v, Téquation donnée entfc a; et ^ à Torigine de l'intégrale en donnera une entre 17 et 0 à cette origine; 2? que Téquation
z=zTL(jr)
se changera dans celle-ci
£(6) étant une fonction connue de 0; on aura donc à Torigine de Tintégralo
dz<=dôr(0).
£X^) étant la différence de £(0) divisée par dO; mais on a
dz = -r^ dS -^ ^ dm,
et Téquation entre n et 6 donne
dxs=zEde,
H étant une fonction de 0; donc
rf==rfe(^VH^) = rfô2'(5)
ou
3" que Téquation
se changera dans celle-ci or on a
âz âz àO âz àm ^
ô}^ ~~ àS ây ~^ dm dy'
d'ailleurs 3- et -3- étant connus en fonctions de a? et de y seront
dy dy ^
donnés en fonctions de 0, à l'origine de l'intégrale; soit
-3- = M et 3— = N, dy dy
M et N étant fonctions de 0, on aura
au moyen de cette équation et de celle-ci
on aura ^i ^t j= en fonctions de ô, a l'origine de l'intégrale. Présentement, si l'on suit le procédé de l'article VII, en faisant
dz
on transformera l'équation (Z) dans celle-ci
dz or, connaissant ^ -h mz en fonction de ô, à l'origine de l'intégrale, si
Ton nomme K cette fonction, on aura
£1 cette origine; on a ensuite •
(?3^»> ô^z dz dm
de — dd^ dd ^ dQ'
^insi, pour avoir -^ à l'origine de l'intégrale, il ne s'agit plus que ^*avoir -3^ à cette origine; or on a
,dz d^z jf. d*z
d6 "" dQ^ drsdQ
'-={w--''£hy'
(ik KECIIERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL
mais, si Ton nomme P la valeur de ^> à Torigine de Tintégrale, P étant fonction connue de 0, on aura
donc
. dz .. OP
dP â*z d^z
'équation (Z) donnera 3=^ en fonction de 0, à Torigine de l'intéj,];rale; on aura ainsi à ce point la valeur de -r^» et partant aussi celle (le ^-^ en fonction de 0. L'équation 5<*>= K donne
dO
or on a
rf--'"=§rfO;
c?cf*î . dz^^' âz^^^ âz^^^
ÔO dm ou axa
donc
àO " âO '^ dxn'
d*où Ton aura -^ en fonction de 6; on aura, par conséquent, z^^\ -^et -^ en fonction de 0, k l'origine de l'intégrale.
Si l'on fait ensuite
on transformera Féquation (Z') dans la suivante
ri l'on aura, comme ci-dessus, z^^\ -^ — et -^z- en fonctions de 6 à l'ori-
otn ad
*/\no de l'intégrale; en continuant ainsi, on aura les valeurs de s^'^^ et
(le -^ en fonctions de 0; soit âO
on a (art. VII)
mais, zs étant donné en fonction de 0, à Torigine de l'intégrale, on aura à ce point
en fonction de 6; soit on aura
donc
orV,V(6) et R étant des fonctions connues de 0, on aura la forme de la fonction arbitraire 4'(^)-
Pour avoir celle de la fonction arbitraire 9(ct), on observera que l'on a
or on a, a l'origine de l'intégrale, s^''"*^ en fonction de 6, et à cause de la relation qui existe à ce point, entre u et 0, on aura z^""^^ en fonction de n; on aura pareillement
en fonctions de u; nommons donc Q la première de ces quantités, — S la seconde, et faisons z^''''^^= F, nous aurons
F = Qq>(^)-S; donc
équation au moyen de laquelle on connaîtra 9(^). Pour donner un exemple de cette méthode, considérons l'équation
OEuvres de L. — IX. 9
aux différonces partielles
y â^z a âz ^ dz
laqifello est intégrable (art. IX) si Tune des quatre valeurs suivantes de r,
est un nombre entier positif. Soit a— — i, et Ton aura (art. IX) r= i; mais on a, par le même article,
ce qui donne, en intégrant, on aura ensuite (même article)
d'où l'on tire, en intégrant, on a enfin
Pour déterminer présentement les fonctions arbitraires 9(ci) et •j'(O), supposons que, à l'origine de l'intégrale, on ait
on aura, à cette origine,
dz — cos 9dQ= -^dO -h -^dtss;
partant,
ce qui donne
26 dm
dz ^ sin B
