COS0 T

cnar 30

on a donc ainsi, à l-'origine de Tintégrale,

. - dz sinô dz ^ sinô

c^ô 2 0 dm iB

On a ensuite (art. IX), dans le cas présent,

iu àz z ^ ... dz^'^ z(')

de ro-hô ®* d$ ^w + e'

d'où Ton tire, à Torigine de l'intégrale,

àz^\) z(') = o et ^^(»)=z^;

or on a

dz('^ d^z dQ z

â6 '^ de^ Bj H- ô (© 4- sy

ce qui donne, à Torigine de l'intégrale,

dz^d^ dQ " dS*'

ainsi, pour avoir -^ et, par conséquent, s^^^ à l'origine de l'intégrale,

il ne s'agit que de connaître à ce point la valeur de ^- Pour cela, on observera que

,dz d^z ^^ d^z ^, d^z ^f. d*z .^

or on a

partant,

,dz ,sfn0 cosOdB s'inO d6

cosB sinO d*z d^z

2$ 202 ~ dS^ dtsdO'

Téquation (V) donne ensuite, à l'origine de l'intégrale,

dz ,dz

on aura donc

d^z (6 — i)8in0 ,,,

or r.équation

donne, à l'origine de l'intégrale,

partant.

Pour avoir maintenant ç(ci), on observera que l'équation

5Î«)rr:

ijr^ [?(cT) -^/(cj -h ôy-^ vKô) ^0]

donne à l'origine de l'intégrale, où 5^*^=0, comme on vient de le voir,

^inQdB

on aura ainsi 9(0), en intégrant le second membre de cette équation et en changeant ensuite dans l'intégrale 6 en xs.

11 resterait présentement à donner des méthodes pour intégrer par approximation les équations aux différences partielles, et pour avoir leurs intégrales particulières, lorsque l'intégrale complète est impossible; mais l'un et l'autre de ces deux objets exige des recherches très délicates, que la longueur déjà trop grande de ce Mémoire m'oblige de remettre à un autre temps. .

RECHERCHES

8UB PLUSIEURS POMTS

Mémoires de r Académie royale des Sciences de Paris, année i/jS; 1778.

Les objets que je me propose de traiter dans ce Mémoire sont : i"" la loi de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre ; n^ le phénomène du flux et du reflux de la mer, la précession des équinoxes et la nutation de l'axe de la Terre qui résultent de ce phénomène; 3"^ les oscillations de Tatmosphëre occasionnées par Taction du Soleil et de la Lune.

Sur la loi de la pesanteur à la smface des sphéroïdes homogènes

en équilibre.

Ces recherches sont une extension de celles que j'ai données dans la seconde Partie des Mémoires de l'Académie pour l'année 1772, page 536 (^). En supposant en équilibre une masse fluide homogène dont toutes les parties s'attirent en raison réciproque du carré des distances et qui, en tournant autour d'un axe, forme un solide de révolution infiniment peu difierent d'une sphère, j'ai démontré que si, à l'équateur de ce sphéroïde, on nomme P la pesanteur et a/n le rapport

(*) Remis le i5 novembre 1777.

(S) Œuvres de Laplace, t. \in, p. 481.

Œuvres de L.— IX. 9*

de la force centrifuge à la pesanteur, a étant supposé infiniment petit, la pesanteur à un point quelconque du sphéroïde, dont 6 est le complément de la latitude, sera P(i -f- jamcos^ô). Ce théorème est d'autant plus remarquable que j'ai fait voir, dans le même endroit, qu'il n'est nullement démontré que la figure elliptique soit la seule qui convienne à l'équilibre, qu'il y a peut-être une infinité d'autres figures qui y satisfont pareillement; mais que, sur tous ces sphéroïdes, la loi de la pesanteur est la même. Je me propose ici de généraliser ces recherches et de chercher la loi de la pesanteur, sans m'astreindre à la supposition que le sphéroïde est de révolution. Je suppose conséquemment une masse fluide homogène, dont toutes les parties s'attirent en raison réciproque du carré de la distance, tourner autour d'un axe quelconque, de manière que la force centrifuge soit infiniment petite relativement à la pesanteur; je suppose de plus tous les points de cette masse animés par des forces quelconques infiniment petites» et je vais déterminer a priori, et indépendamment de la connaissance de la figure du sphéroïde, la loi de la pesanteur à la surface, dans le cas de l'équilibre.

L'action d'une pyramide MR'CBD {fig. i), dont la base R'CBD est infiniment petite, sur son sommet M, est égale à la section RR'OR'"

Fig. I.

faite perpendiculairement à MR et divisée par MR; en sorte que, si l'on

nomme V cette section et r la droite MR, on aura - pour l'action de

la pyramide sur le point M; cette proposition est trop facile à démontrer pour nous y arrêter.

Cela posé, considérons un sphéroïde quelconque AMB {fig. 2); soit tirée la droite MC, et par le point M les deux droites IMV et MQ, perpendiculaires,, la première à MC dans le plan AMB, et la seconde au

plan AMB; soit, de plus, R un point quelconque placé à la surface du sphéroïde, et dont Z est la projection sur le plan AMB; que Ton fasse MR = r, l'angle QMR=/>, et Tangle IMZ = y; en faisant varier le point R de manière que, Tangle p restant invariable ainsi que la

Fig. a.

droite MR, l'angle q devienne 'q'\'dq, on aura un nouveau point R%

dont TI sera la projection sur le plan AMB, et la droite RR' sera égale

à ZZ' ; or on a

ZZ'=MZ«/7 et MZ=:r8in/?;

ZZ'=rsin/>c^^ = RR'.

Si Ton fait ensuite mouvoir le petit triangle MRR', de manière que, y et r restant invariables, p devienne /i -h dp^ le point en R viendra en R" et le point R' en 0; de plus, il est visible que la base RR'OR" de la pyramide MRR'OR^ est égale à

r* sin p dp dq^

et qu'elle est perpendiculaire sur MR, en sorte que l'action de cette pyramide sur le point M sera, par ce qui précède, égale à

rsïnpdpdq;

OKupreê de L, — IX.

n RECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS

cette action, décomposée suivant les trois droites MC, MY et MQ» donnera :

i"* Suivant MC, une action égale à

rsïn^psinqdpdq;

2? Suivant MV, une action égale a

— rs\n*pcosqdpdq;

3^ Suivant MQ, une action égale à

rsïnpcospdpdq.

On aura donc pour Faction entière du sphéroïde : i^ Suivant MC

/ r sin^p sïn g dp dq:'

je nomme â cette action ; 2° Suivant MV

>1C rtlC

/ r s'in^p COSq dp dq :

je nomme B cette action ; 3» Suivant MQ

f I r slnpcosp dp dq :

je nomme C cette action.

Il ne s*agit plus maintenant que de connaître r en fonction de p et do q.

Pour cela» imaginons que le solide soit infiniment peu différent d'une sphère dont C soit le centre et CA le rayon. Soient CA = a et Tangle MCA = 0; concevons ensuite un plan fixe ANB» et soit u Fangle qu*il forme avec le plan AMB, angle que je nommerai longùude du point M. Cela posé» MC ne dif1>re, par l'hypothèse, de AC que d'une quantité infiniment petite; soit aa(jL cette quantité, en sorte que l'on ait

MC=:a(t + afjL),

a étant infiniment petit ; [t. sera une fonction de ci et de 0 ; soient encore 6' l'angle RCA, et n la longitude du point R, on aura

RC = a(i-hafjL'),

[x' étant pareille fonction de u" et de 0' que (jl Test de n et de 6. Si des points R et Z on abaisse les perpendiculaires RL et ZL, sur MC,

donc

de plus

donc

partant,

RL' = ZlVrz';

ZL = rsïnpcosq RL=:rcos/>;

RL =r'sin'/>cos'7-+-r*cos'/>;

ML = rsin/>sin^; CL = a(n- «jui) — rsinp sïnq;

CR =CL -hRL =a*(n-afjL)«— 2a(n-afjL)/-sin/?sin^-+-r*=a«(i-+-ajui')«;

on aura donc, en négligeant les quantités de l'ordre a^, comme nous le ferons toujours dans la suite,

r'— 2ar(i -+- «fx) sin/?sin^ = 2aa"(jui'-— jjl),

d'où l'on iire

r = a(i + afx)sin/>sin^ ±: asin/>sin7(i + afx) H . ^ T^ •

Il faut substituer dans [f.\ au lieu de vj' et dQ 0', les valeurs qui leur conviennent; or, en adoptant le signe —, on a

sinjDsin^ ce qui indique que le point R est infiniment voisin du point M, et alors

on a, aux quantités près de l'ordre a,

d'où l'on tire, aux quantités près de l'ordre a*,

afji'=afji;

partant,

ce qui, d'ailleurs, est y'mhle a priori. En adoptant le signe -+-, on a

r — aa(i -+- au) sinDSin7 H . ^ . '^ 9

^ ^' '^ ' sin/?sin7

et c'est l'expression de MR; il faut, présentement, déterminer 0' et x3! en fonctions de p et de q. Pour cela, on abaissera des points R et Z les perpendiculaires RK et ZK sur AB; en négligeant les quantités de l'ordre a, comme cela est ici permis, 0' et u' ne se trouvant que dans a' qui est déjà multiplié par a, on aura

CK=:acos9';

de plus, si l'on mène LH perpendiculairement sur AC et ZS perpendiculairement sur LH, on aura

CH = CLcosÇ = (a — r6În/>8in7)cosô -

ZS — KH = rsin/7C0S7sin9; *

donc

CK = CH -hHK = acos^-r.rsin/>(sinôcos7 — cosôsinç);

cos5':=co8^-T- asin'/>sin7sin((? — 7);

on a ensuite

. , , . RZ rcosp asinpcospsîna

8m(fD'— m) = 5^ = — r— ^ = ^. J i;

' RK asm 5' smô' '

on déterminera donc a et 0' au moyen des équations

. , , . ssînpcospsina sm{w'— By) = ^--^-7j- -'

cos9' — cosÔH- asinV8m78in(9 — 7)

si Ton substitue maintenant, au lieu de r, sa valeur dans les expressions de Â, B et C, on aura

j [2asin'/?sin*^(i 4-«|x) 4- aa{[tJ— ^)s\ï\p'\dpdqy B = — / / j aasin*/>sîngcos^(i -h «fx) -f- aa{[k' — ji) sin/? -r-^ dpdq.

lie ^1C

c = / / I aasin'/>C08/?sin^(i H- «fi) H-«a(|x'--- |x) -T— ^ rf/)^/^;

les intégrales précédentes devant être prises depuis/? et q égaux à zéro jusqu'à /> et q égaux à u, il est clair qu'on peut négliger, dans le développement des différentielles, les termes dans lesquels cos/? ou cos^ se trouvent élevés à des puissances impaires; car soit P cos^âf^ un de ces termes, P étant fonction de sin^ et de cos^^, il est visible que P

sera le même pour deux valeurs de 9, équidistantes de -» mais dont

Tune est au-dessus et Tautre au-dessous de ce point; donc, cos^ étant le même pour ces deux valeurs, avec des signes contraires, Vcosqdg sera aussi le même avec des signes contraires ; en sorte que Ton aura, depuis q = o jusqu'à y = u»

on a ensuite

de plus

XPcos^û^zzio;

f S\n^qdq='!^, I sin^pdpzz:^;

donc

\ f 2S\n*ps\n*qdpdq=:\^;

on a encore

lie ^K

/ sinp dpdq=:2n;

en faisant donc, pour plus de simplicité, a = i, on aura

lie ^K

fx' sinp dp dq

,t: ^"K v»ic ^ic

si Ton intègre Texpression de B par rapport à/', on aura

-j^ désignant le coefficient de £^, dans la différentielle de pi'; or» /> étant

supposé nul, on a C7'= C7 et 0'= 0, donc [jl'= [jl. Les mêmes équations ont encore lieu lorsque/» = ir; on a donc

partant,

B==— «/ / cosp-r-^ ^-dpdq; J. J^ smç dp ^^

on a présentement

dp ~~ âO' dp '^ âvï' dp'

et Téquation

cosô'=cosô-h asinVsin7 8m(9 — 7)

donne, en faisant varier 0' et/?,

sin S' dO' ~ — 4 sinp cosp sîn^ sin ( 9 — 7) dp.

Partant,

<W^ __^ 4 sinp cos/> siny sin ^ 5 — y) ^ cV> "" sin y '

en différentiant présentement l'équation

, , , . a sinpcospsinâr

sin(iij'— BJ) = . ^r

sin0

par rapport à u' et/?» on aura

, , . • x^ asinpcospsinûr-^— cos^'op

' sino' sin*0' ^

partant,

chij' __ a(cos*/> — 8in*/g) siny 8sin*/?eos'/>sin*^sin(0 — g) cos0' dîp ~~ sin^C08(cj'— cy) sin'Ô'cos(cy'— bj) ' .

on aura donc

dfx' a sin/? cos*/? cosy sin ( 0 — 7) <^0' sin ô'

^^af"" f""} V rco8/?cos7(cosV-siDV) U»^

2 Jo c/û 1 àm'\ sin0'cos(iij'— BJ) [ ^^'

0 »^o j v"' L sin0'cos(iij'— BJ)

4 sin*/? cos'/? sin^ cos^ sin( ô — g) cosô

sin*0'cos(Bj'— Bj)

d*où l'on tirera facilement

dix' sin/>cosV[sinÔ4-sin(0— Q^)] W sïnë^

-=iuf'' f( ^^' rcos/?cos7(cosV — sinV) \dDda'

2 Jo Jo \ à^'V sin0'cos(By'— BJ) ( ^^'

2 sin*/? cos'/? sin^ cos 0' [sin 0 -h sin (ô — a q)y\ sin'0'cos(Bj'— Bj) J

si Ton différentie l'expression de Â, par rapport à 0» on aura

t <^l* r f . (dit' dB' d[i' (te'X , .

Or» en différentiant l'équation

cos0'=cos9cos*/? 4- sin*/?cos(6— 2q) par rapport à 0' et 0, on a

sin 9' d6'= sinô cos*/? dO -f- sin*/? 8in(0 — a^) é/0,

ce qui donne

d9' __ sinO cos'^p -h sïn^p sin ( g — ay ) ^

si Ton différentie ensuite l'équation

... . asînpcospsinûT

sin(cy'— or) = ^ . /?

^ ' sin ô'

par rapport à xs' et 0, on aura

, , ... 28in/?co8p8Înacos^ <^0' .^

^ ' sin*0' d^

d'où Ton tire, en substituant au lieu de ^ sa valeur»

àjs' asinpcospsin^cosd' . /i , •••//» m

oB sin'0'cos(iij' — BJ) *■ ^ '^ ^ "*

»iï /»it » \ /

— ^sE/ — ^-fzT — ~r-r— — ^— [s>n d cosV -»- sin V 8in(& — 2 a)] \ dp de

partant,

''^ "^ ' dfjt' 8in/?8in(0 — 27)

^"^XX (sin«/>-co8V)|f^

sinô'

__ ^r cospcosq

dvs' Lsin 0' cos (©' ~ or

a sin*/? cos/? siny cos ^ sin (g -— a^)"! ) sin»e'cos(iïT' — w) Jj

Maintenant on a

Ôq " dB' dq "*" dGJ' dq'

or, si Ton différentie l'équation

cosô'= cosO cos*/? -h sin*/? cos(d — 27),

par rapport à 0' et à 9, on aura

sin0'rfô'=:— 2sin*/>8in(9-- 2q)dg; partant

dO' asin*/? sin(0 — 27)

dq~ siiTô' '

en diffçrcntiant ensuite l'équation

... . asinpcospsin^

sin(iij' — ©)= ^ . ^ î»

^ ' sinô'

par rapport à tor" et à ^, on aura

dO'

. a sinp cos/? sin a cos Ô' ^- dq , , ^ , , 2S\npcosp cos gag r r ^ àg ^

C0S(lij'— liJ)€/cj'=z T^, ^— ^ i-r^T -î —

^ ' sin0' sin*0' '

(1*011 l*on tirera, en substituant au lieu de 3- sa valeur,

(te' 2sin/>cos^cos^ 4 sin'/? cos/? sin 7 cos 0' sin (0— 27) dg ~" sinÔ'cos(Gy' — cj) sin'ô'cos(iij'— nr) ^

partant

d\i! __ d\i! 2sin*/?sin(0 — 27) ~dq ■""^-■^ô"' sinè^

d\il r 2sin/?cos/? cos^ 4sin'/?cos/?sin7cosô'sin(0 — 2^)"] dw' [sinô'cos(cj'--cy) sin*ô'cos(o'— cy) J^

on aura donc

dk .^ . dix . r"" r"" àjx' sin'/? - cos'/? ^ ^

de * ' dô * jo ^0 ^^ ^^^P

or, en intégrant par rapport à 7, on a

La constante arbitraire doit se déterminer par la condition que Tintégrale commence lorsque y = o; et, dans ce cas, on a 6'= 6 et ts'= ta; donc p.'= (x; partant H = — (x, et

OEuvreê de L. — IX. Il

. mais l'intégrale doit se terminer lorsque y = ir; et, dans ce cas, on a 0'= 0 et tsT'= cy, partant (x'= [a; donc

ce qui donne

(^nation analogue à celle que j'ai donnée pour les sphéroïdes de révolution, dans les Mémoires de V Académie déjà cités, page 545 (' ).

On aura, en suivant la même analyse, une équation à peu près semblable entre A et G; mais, au lieu de recommencer les mêmes calculs, il est plus simple de tirer cette équation de l'équation (a). Pour cela, considérons un point m, infiniment voisin de M, placé en même temps il la surface du sphéroïde et dans le plan AME; si Ton fait MC/n = ^, et que l'on nomme *A ce que devient A pour le point /w, et '[jl ce que devient tx pour le même point, on aura

d^ "" dB ^ dO "OB'

Téquation (a) devient conséquemment

0) 'A - A - iRflT^ -+- i« 7:( 'fx - fx) = o.

Imaginons par les points M et G un plan QMG, perpendiculaire au plan AME, et considérons un point m\ infiniment voisin de M, placé on même temps à la surface du sphéroïde et dans le pl^ QMG; soit rf<p Tangle MGm', et soient A, et tx, ce que deviennent A et a au point m'x il est clair que, par la même raison que l'équation (X) a lieu, celle-ci

(>/) A,~A-iCrfo-+-}«7r(fA,~fx)=o

doit avoir lieu; présentement, l'angle /w'GA ne difRre de Tangie MCA que d'un infiniment petit du second ordre, en sorte que, si Ton sup-

C») Œuvres de Laplace, T. VIU, p. 491.

pose la longitude du point m! égale à t7 + dm^ on aura

A| — A:=-T— cfcy cl Uf — UL zn -J-- dm ; ors ^ ^ dm

de plus» en négligeant les quantités de Tordre a, comme cela est ici permis, C étant infiniment petit de l'ordre a, on a rfç=:flfasin6; Téquation (X') deviendra donc

(a') ^-iCsinÔ4-î«7r^ =o;

OBJ * ^ dxs

et les équations (a) et (a') ont lieu, quelle que soit la figure du sphéroide, pourvu qu'il diffère infiniment peu de la sphëre.

Supposons maintenant que le sphéroïde ait un mouvement de rotation et, de plus, que toutes ses parties soient animées par des forces quelconques, et déterminons les équations de l'équilibre. D'abord, il est clair que l'axe de rotation peut être censé passer par le centre de gravité du sphéroïde; soit donc AB cet axe, C étant le centre de gravité de la masse entière; soit encore a/ la force centrifuge à l'équateur du

sphéroïde, ou loi:sque 0= -; cette force sera au point M égale à

a/sinô, en négligeant les quantités de l'ordre a*, et elle donnera, suivant l'élément M/w du sphéroïde, une force égale à a/sinOcosO; cette même force, décomposée suivant l'élément M/w', sera nulle et, décomposée suivant MC, elle donnera une force égale à — a/ sin'0; je lui donne le signe —, parce qu'elle agit en sens contraire de MC. ,

L'action A du sphéroïde sur le point M, décomposée suivant Mm, donnera une force, égale à AcosCMm; or on a

cosCM/n=:— a^;

donc l'action A produira, suivant M/w, une force égale à

en négligeant les quantités de l'ordre a^. Cette même force A, décom-

posée suivant M/w', donnera une force égale à

dix

. dfâS

' sin9

La force B, étant de Tordre a, donnera suivsmt Mm, en négligeant les quantités de l'ordre a^, une force égale à B, et suivant Mm' une force nulle. Pareillement, la force C donnera suivant Mm une force nulle, et suivant Mm' une force égale à C. Supposons ensuite que le point M soit animé : i** d'une force aM, dirigée de M vers V; 2® d'une force a N, dirigée de M vers Q; 3® d*une force aR, dirigée de M vers C; M, N et R étant des fonctions quelconques de ta et de 0, on aura pour la force entière, dont le point M est animé suivant Mm,

xfs\n9cos9 -^ «M -+- B — j«^7iû>

et, comme cette force doit être nulle par la condition de l'équilibre, on aura l'équation

(a") a/sin9cosô h- aM h- B = JaTU ^•

On aura semblablement pour la force entière, dont le point M est animé

suivant Mm',

dix

et, cette force devant être encore nulle dans le cas de l'équilibre, on aura l'équation

(a'') sin9(C-+-aN)=:|a7r^;

ovs

enfin, la force entière dont le point M est animé suivant MC est A — a/sin^O -1- aR; or il est facile de s'assurer que la pesanteur au point M, ou, ce qui revient au même, que la résultante des trois forces, suivant MC, MV et MQ, ne difllëre de la force, suivant MC, que

d'une quantité de l'ordre a*; donc, si l'on nomme P la pesanteur au point M» on aura

Si Ton différentie cette équation successivement par rapport à 0 et à XS9 on aura

^dO -^de -+-a^rf^-2«/sin9cos9^0, dO dd d9 -^

dP, dk, (^R ,

(TTîj uTSj ora

en substituant dans ces équations, au lieu de ^ et de ^> leurs valeurs que donnent les équations (a) et (a'), on aura

^dQ =:ïBde-l(XT:^de-\-x^de-^2a/s\necosede,

-^--dxs:=\CsinOdî3 — i(xn -J-dxs-^ ol -r—dm, ors ^ ouj ûrn

et, si Ton substitue, au lieu de B et de C, leurs valeurs que donnent les équations (a") et (a'") de l'équilibre, on aura

^de =-.i(x/smecos6d9-\<xMde-^oi^d9,

^— ûfcj =— i«N sinO dxs -h a -^—dxs ; dm Ofs

en ajoutant ces deux équations, on aura

^=--f a/sin0cos9rfÔ — |«(Me/9^-Nsin06fGJ)4-a^R; pOur que cette équation et, par conséquent, pour que l'équilibre soient possibles, Mrfô -h NsinOûfa doit être une différence exacte; soit d\ cette différence, et Ton aura

P = P'-f. f «/cos*9 - \aW -4- a R,

t*' étant une constante arbitraire ajoutée en intégrant, et cette équation exprime généralement la loi de la pesanteur à la surface du sphé- «•oïde.

Lorsque les forces aM, aN et aR sont produites par les attractions (le tant de corps que Ton voudra, placés près ou loin du sphéroîdet mais tels cependant : i**'que leur action sur le sphéroïde altère infiniment peu sa figure; 2° qu'ils participent au mouvement de rotation du sphéroïde, autrement il ne pourrait jamais y avoir équilibre, ou bien s'ils ne tournent point avec le sphéroïde, qu'ils soient en nombre infini, et distribués également et circulairement autour du sphéroïde, comme il est très naturel de présumer que toutes les parties de Tanneau de Saturne sont disposées autour de cette planète; M^/O + Nc/t^sinO sera toujou^rs dans ce cas une différence exacte ; car, soient S un de ces .corps, r sa distance au point M, et h sa distance au point G ; r peut être considéré comme fonction de 0, xs et du rayon CM, que je nommer;

présentement, l'action de S sur M est -j; cette action, décomposée suivant MV est -^ ^; cette même action décomposée suivant MQ est -1 — :— û 3=; enfin cette action décomposée suivant MC est z -^.

r«5sm9 OBJ ^ r^ ds

Pour être en droit de regarder le centré G comme immobile, il faut retrancher des forces précédentes Faction de S sur G, décomposée suivant les mêmes lignes, et, pour avoir cette action, il suffit de faire s infiniment petit dans les quantités précédentes ; soient r ce que devient r dans ce cas, et s" ce que devient ^, on aura

" r^s de r'^s' de '

partant

«N = S Or S f^' ~~ r'^sinô (hn r'* s' sine dvs

«M £/0 -h «N sin ô dî3 — ~ dr - -^, dr\

en ne considérant que gt et 0 de variables; on aura donc

S S S dr* S dr

* •' 2rs ir's' /•'* ds r* ds

Supposons qu'en réduisant -> dans une suite ascendante par rapport à Sf on ait

- =: T -H bs -^ b^^^ s^ -h . . ., r n

b, b^*\ . . . étant des fonctions de 0 et de t7» on aura

ar's' 2hs' a

de plus» on aura

/il

s àr' r*

4, ^=-S-5S=~S6-aS6(»)y-...; r* (75' ar

et, si Ton considère que le terme ^> étant constant, peut être

censé compris dans la constante arbitraire P', on trouvera, en faisant s'= o,

rfc Tfc/»^ •« S 3S6 S dr * •' 2rs a r^s os'

désignant donc par ^( ^ t) '^ somme des quantités

fSè r T"' relative à tant de corps que l'on voudra, on aura

P = P'^i.fcosH^^{±-iSi,-^/^^^.

S dr\ )

Partant, si Ton connaissait la figure et la densité de l'anneau de Saturne, et sa position par rapport à l'axe de rotation de cette planète, on pourrait, en supposant la planète homogène, déterminer la loi de la pesanteur à sa surface; l'équation précédente réduit* comme Ton voit, le problème à la quadrature des courbes, parce qu'alors S devient infiniment petit et que la caractéristique intégrale £, relative aux di£férences finies, se change dans la caractéristique intégrale f, relative aux différences infiniment petites.

Sur le Jlux et le reflux de la mer y et sur la précession des équinoxes et la nutation de l'axe de la Terre qui résultent de ce phénomène.

Il ne s*agit point ici de chercher une nouvelle cause du flux et du reflux de la mer, mais de bien faire usage de celle que nous lui connaissons incontestablement, et qui, comme Ton sait, consiste dans Tinégale pesanteur des eaux de la mer et du centre de la Terre vers le Soleil et la Lune. Je me propose d'assujettir à une analyse plus rigoureuse qu'on ne l'a fait encore les effets de cette inégalité de pesanteur et les oscillations qui en résultent. Presque tous les géomètres qui se sont occupés jusqu'ici de cet objet ont supposé d'abord un astre immobile au-dessus d'une planète immobile et recouverte d'un fluide; ils ont cherché la figure que le fluide devait prendre pour être en équilibre; considérant ensuite le cas où l'astre a un mouvement réel ou apparent autour de la planète, ils ont supposé que la flgure du fluide en équilibre, qu'ils avaient déterminée dans le cas de l'astre immobile, n'était point altérée par ce mouvement, dont tout l'effet, suivant eux, est de changer a chaque instant la position de celte figure relativement à la planète, en lui conservant toujours la même situation par rapport à l'astre. C'est ainsi que MM. Newton, Daniel Bernoulli et Maclaurin ont déterminé les effets des attractions du Soleil et de la Lune sur la mer; mais il est aisé de sentir le peu de conformité de ces suppositions avec ce qui a lieu dans la nature, et l'on doit aux grands géomètres que je viens de citer la justice d'observer qu'ils en ont eux-mêmes reconnu l'inexactitude et l'insuflisance pour expliquer plusieurs phénomènes des marées. Celui qui s'éloigne le plus de leur théorie est la différence très petite que l'observation donne entre les deux marées d'un même jour, quelle que soit la déclinaison des deux astres, tandis que, en suivant leur résultat, cette différence doit souvent être tri's considémble et beaucoup plus grande qu'aucune autre

inégalité des marées : or une théorie qui diffère à ce point de l'observation doit être entièrement abandonnée. Heureusement* cela ne porte aucune atteinte au principe de la gravitation universelle, et il n'en résulte que la nécessité d'avoir égard, dans la détermination des oscillations de la mer, au mouvement de rotation de la Terre, et à ceux du Soleil et de la Lune dans leurs orbites. Cette recherche présente alors de bien plus grandes difficultés que celle de l'équilibre, et c'est vraisemblablement ce qui a déterminé les géomètres à se borner à ce dernier cas; j'en excepte, cependant, MM. Euler et d'Alembert; le premier de ces deux grands géomètres, après avoir fait sentir, dans sa pièce sur le flux et le reflux de la mer, la difficulté de soumettre à un calcul précis les oscillations des eaux de la mer et le peu de ressources que présentaient alors à cet égard l'Analyse et la théorie des fluides, s*est borné à déterminer ces oscillations dans l'hypothèse qui lui a paru la plus vraisemblable sur l'effort des eaux pour reprendre leur état d'équilibre lorsqu'elles s'en sont dérangées. C'est donc, à proprement parler, à M. d'Alembert qu'il faut rapporter les premières recherches exactes qui aient paru sur cet important objet; cet illustre auteur s'étant proposé dans son excellent Ouvrage qui a pour titre : Réflexions sur la cause des vents, de calculer les effets de l'action du Soleil et de la Lune sur notre atmosphère, y détermine d'une manière synthétique et fort belle les oscillations d'un fluide de peu de profondeur qui recouvre une planète immobile, au-dessus de laquelle répond un astre immobile; il cherche ensuite à déterminer ces oscillations dans le cas où, la planète étant toujours supposée immobile, Tastre se meut uniformément sur un parallèle à l'équateur, et il parvient, par une analyse aussi savante qu'ingénieuse, aux véritables équations de ce problème; mais la difficulté de les intégrer Ta forcé de recourir à des suppositions qui en rendent la solution incertaine; on trouvera dans ces recherches la solution rigoureuse de ce même problème, quelle que soit la densité du fluide et le mouvement de l'astre attirant dans l'espace. Au reste, je dois à M. d'Alembert la justice d'observer que, si j'ai été assez heureux pour ajouter quelque chose à ses excellentes Réflexions sur la

OEuvret </e Z, . — IX . 12

cause des vents, j'en suis principalement redevable à ces Réflexions elles-mêmes et aux belles découvertes de ce grand géomètre sur la Théorie des fluides et sur le Calcul intégral aux différences partielles, dont on voit les premières traces dans l'Ouvrage que je viens de citer. Si Ton considère combien les premiers pas sont difficiles en tout genre et surtout dans une matière aussi compliquée; si l'on fait attention aux progrès immenses de l'Analyse depuis l'impression de son Ouvrage» on ne sera pas surpris qu'il nous ait laissé quelque cho^e à faire encore et que, aidés par des théories que nous tenons de lui presque tout entières, nous soyons en état d'avancer plus loin dans une carrière qu'il a le premier ouverte.

Il semble que la solution du problème précédent renferme toute la théorie du flux et du reflux de la mer : car, quoique on y suppose la planète imniobile, ce qui n'est pas vrai pour la Terre, cependant, le mouvement de rotation de cette planète paraissant n'avoir d'autre efiet que de changer la position du Soleil et de la Lune par rapport aux eaux de la mer, on pourrait croire que, pour être en droit de regarder la Terre comme immobile, il suffit de transporter en sens contraire à ces deux astres son mouvement angulaire de rotation; mais, en réfléchissant avec attention sur la nature du problème, on aperçoit bientôt que le changement dans la position du Soleil et de la Lune par rapport à la mer n'est pas le seul effet qui résulte de la rotation de la Terre» et l'on s'en convaincra facilement par la remarque suivante, qui n'a point échappé à M. Maclaurin dans son excellente pièce sur le flux et le reflux de la mer, quoique ce savant auteur ne Tait point soumise au calcul. Lorsqu'on suppose à la planète un mouvement de rotation commun au fluide, la vitesse d'une molécule du fluide étant supposée rester la même dans le sens du parallèle, son mouvement angulaire de rotation augmente ou diminue, suivant qu'elle s'éloigne ou qu'elle s'approche de Téquateur, en sorte qu'elle change, de méridien par cela seul qu'elle change de parallèle : or ce changement pour les eaux de la mer est du même ordre que les mouvements immédiatement excités par Faction du Soleil et de la Lune.

On Yoit par là TimperfecCion de toutes les théories connues sur le flux et sur le reflux de la mer, et combien il était nécessaire de résoudre» avec plus de rigueur qu'on ne Ta fait encore, ce problème, Tun des plus intéressants et des plus compliqués de toute l'Astronomie physique; c'est à remplir cet objet, au moins autant qu'il m'a été possible, que sont destinées les recherches suivantes, et j'ose espérer que l'importance et la difficulté de la matière pourront leur mériter quelque attention de la part des géomètres; je devais naturellement m'attendre à ce que, ayant fait entrer dans ma solution toutes les circonstances essentielles du problème, mes résultats approcheraient beaucoup plus de l'observation que ceux de la théorie ordinaire, sur le peu de difl*érence qui existe entre les deux marées d'un même jour : aussi ai-je eu la satisfaction de voir qu'ils donnent, dans les hypothèses les plus vraisemblables sur la profondeur de la mer, une infinité de moyens d'expliquer pourquoi cette diflerence est aussi peu considérable : je regarde l'explication de ce phénomène comme un di^ principaux avantages de mes recherches. Elles m'ont donné lieu de faire une remarque qui me parait utile dans la théorie de la précession des équinoxes et de la nutation de Taxe de la Terre ; il ne suffît pas, dans cette théorie, do considérer l'action du Soleil et de la Lune sur^la partie solide de cette planète : il faut encore avoir égard à l'action de ces deux astres sur les eaux de la mer. Imaginons, en efi'et, que la Terre soit un ellipsoïde de révolution recouvert par la mer; il est clair que, tant que le Soleil sera dans le plan de l'équateur, son action sur la Terre et sur les eaux qui la recouvrent étant égale et symétrique des deux côtés de l'équateur, il ne peut en résulter aucun dérangement dans la position de l'axe de rotation de la Terre; mais, si l'on suppose le Soleil décliner vers l'un ou vers l'autre pôle, son action ne sera plus la même sur les deux moitiés de la Terre formées par la section du plan de l'équateur ; les eaux de la mer, distribuées différemment sur ces moitiéspar l'action du Soleil, les attireront d'une manière difierente et presseront inégalement leurs surfaces. On conçoit donc qu'alors il doit y avoir un dérangement dans la position de l'axe de la Terre, produit non seule-

ment par l'action directe du Soleil et de la Lune sur la partie solide de cette planète, mais encore par l'attraction et par la pression du fluide dont elle est recouverte; or le calcul m'a montré que les efiets qui résultent de cette seconde cause sont du même ordre que ceux qui dépendent de la première, toutes les fois que la densité du fluide est comparable à la densité moyenne de la planète. J'ai cru que les géomètres ne seraient pas fâchés de voir la théorie de ces dérangements; je l'expose conséquemment ici avec tout le détail que peut e»ger son importance; cette recherche m'a paru d'autant plus nécessaire, que tous ceux qui ont jusqu'à présent résolu le problème de la précession des équinoxes ont négligé d'avoir égard à l'action 4\i Soleil et de la Lune sur la mer, et M. d'Alembert, à qui nous en devons la première solution rigoureuse, i^ense que cette action ne peut avoir aucune influence sur ce phénomène; je m'écarte d'autant plus volontiers du sentiment de cet illustre auteur, que cela n'afi*ecte en rien sa belle méthode qui est un chef-d'œijpvre de Dynamique, et k laquelle la mécanique des corps solides est redevable des découvertes intéressantes qui l'ont enrichie depuis trente ans. Il ne résulte même de l'action du Soleil et de la Lune sur la mer aucun changement dans les lois de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe de la Terre; cette action n'influe que sur le rapport de la quantité de la nutation à celle de la précession, et son influence, qui pourrait être considérable dans^ une infinité d'hypothèses sur la profondeur et sur la densité de la mer, est très petite dans celles qui sont le plus conformes à la Nature; car on verra dans la suite qu'elle est proportionnelle à la différence des marées de dessus et de dessous, différence qui, suivant Tobservation, est presque insensible. Le phénomène de la précession des équinoxes a cela de remarquable que l'on retrouve toujours les mêmes lois, quelques hypothèses que l'on emploie sur la profondeur de la mer et sur la figure de la Terre; c'est un théorème que je démontre ici rigoureusement, en supposant que le solide recouvert par les eaux est un sphéroïde de révolution peu diff^érent d'une sphère, et divisé en deux parties égales et semblables par Téquateur ; la rapidité du

mouvement de rotation de la Terre me donne lieu de croire que ce théorème est généralement vrai, quelle que soit la loi de la profondeur de la mer et la figure du solide qu'elle recouvre, pourvu qu'il diffère peu d'une sphère, et qu'il tourne à très peu près autour d'un de ses axes principaux -de rotation; c'est là, si je ne me trompe, la raison pour laquelle la théorie est si bien d'accord sur ce point avec l'observation, tandis qu'elle s'en éloigne sensiblement sur la* figure de la Terre. •

Concevons une planète très peu différente d'une sphère, et recouverte d'un fluide d'une densité homogène; il est clair que, si la planète tourne sur son axe et que le fluide ne soit agité par aucune force extérieure, il prendra à la lo.ngue le mouvement de rotation de la planète, et parviendra enfin à être en équilibre. Supposons-le parvenu à cet état et qu'ensuite, par l'attraction d'un nombre quelconque d'astres.

Fig. 3.

il en soit dérangé de manière qu'il fasse des oscillations infiniment petites; il s'agit de déterminer la nature de ces oscillations. Pour cela, soient {^fig- 3) a/i6Ca la planète et ANBAa/ièa le fluide qui la recouvre; considérons une molécule quelconque M du fluide, telle qu'à Torigine du mouvement l'on ait eu CM = j, l'angle NCA = 0, et que la longitude de ce point ait été cr, C étant le centre de gravité de la planète, et le premier méridien, d'où l'on commence à compter les longitudes, étant supposé immobile, ou ne point participer au mouve-

ment de rotation de la planète; soit nt le mouvement angulaire de rotation commun au fluide et à la phnëte, / désignant le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, et supposons qu'après ce temps 0 se change en 6 -i- ai/, u en ct h- /i/ -»- ai' et * en * H- ar, a étant une quantité infiniment petite ;u^v eir seront fonctions de 6, car, s et du temps /. Imaginons présentement au point M un prisme fluide rectangle dont les trois dimensions soient

(s-har) (dw-^a^dfBj sin(â + aii).

les quantités 3-' ^> ;i^ exprimant, suivant la notation reçue, les coefficients de ds, </0 et du, dans les difl'érentielles de r, k et i^; la solidité de ce prisme sera, en négligeant les quantités de Tordre a' et nommant A la densité du fluide,

(A) ^dsdOdm U*sin0 f i -+- a-v- -h a^-g -+-«;j-; 4-att -r-jô j -+- aar^sinôl.

Dans l'instant suivant, ce prisme se changera dans un solide d'une autre figure ; mais il est aisé de s'assurer que, si l'on détermine la masse de ce nouveau solide, comme s'il était un prisme rectangle, on ne se trompera que de quantités infiniment petites du second ordre par rapport à celles que l'on considère; on peut donc, en négligeant ces quantités, supposer nulle la difi*érentielle de la quantité (A), prise en ne faisant varier que le temps /; d'où l'on tire, en intégrant par rapport à /,

^ ^fl^ r * • û/ àr du dv cos9\ . ^1

dsdQdxnXs^smBx i 4- a :»- -h a x^- -t- « vu -^au-r—ji ) -k-iar$%\nB\

L \ os dO âïïs sin^/ J

1= 9(5, BJ, Q)dsdBdfa,

<p(5, zjf 6) étant une fonction de 5, a et 0 sans /; or on a à l'origine du

mouvement, ou lorsque / = o, r=o, e/ = oet^ = o; donc

9(5, CT, Ô) = s*sïn9;

partant, on a

d,s*r ./au dv °- as ^'KdB^d^

cosô\

Imaginons présentement la position du point M déterminée par les ' trois coordonnées rectangles x^y^ z, qui aient pour origine commune le centre C, de manière que Taxe des x soit Taxe Ca de rotation de la planète, que Taxe des y soit perpendiculaire à Ca dans le plan du premier méridien, et que Taxe de z soit perpendiculaire à ce plan; on aura

a:=: (s4-ar)cos(9 4- a a),

yz={s -hoir)sïn{9 -h cxu)cos{fs -^ nt-^ 0Li>)f

5 =^(3-^ (xr)s\n(0 -h au) sïii(m -h nt -h (xv).

Gela posé, concevons ta molécule M sollicitée par tant.de forces attractives F, F, F'', ... que Ton voudra, et nommons /, /' f, ... les distances des centres d'attraction à la molécule;/, /',/", ... serbnt fonctions de a, 0, 5, du temps / et de constantesl soit encore p la pression du fluide au point M,/> étant pareillement fonction de cj, &, 5 et /; si Ton désigne par la caractéristique B les difi*érences des quantités prises en regardant le temps / comme constant, on aura Téquation suivante :

(B) o = Fa/4-Fa/'-fFM/'4....4-^4.a^5Ï4-a/^-t-a.g.

Cette équation est un corollaire du principe suivant de l'équilibre, qui Q^ut être utile dans beaucoup d'autres circonstances :

Si un nombre quelconque de forces R, R', R'", ... agissent sur un point M, suivant des droites quelconques dont y, y', y^, . . . représentent les longueurs depuis le point ^jusqu'à leurs origines, que l'on peut prendre

à volonté et vers lesquelles elles sont supposées tendre; y, y*» "f ^^^^ /onctions des quantités 0, n et s^ qui déterminent la position du point M; cela poséj dans le cas où ce point sollicité par ces forces est en équilibre ^ la somme des produits de chaque force, par l' élément de la direction^ est nulle, ce qui donne l'équation suivante

o = R (îy 4- R' Ô/-+- R^ôy'-i-. . .,

les différences oy, ôy', Sy", . . . étant prises en faisant mouvoir les droites y, y', y", . . . autour de leurs origines, et en faisant varier les quantités 6, xs et Sf relatives à la position du point M.

Si les différentielles dd, du et ds n'ont aucun rapport entre elles, l'équation précédente étant vraie, quelles que soient ces différences, tiendra lieu de trois équations; mais, s'il existait entre 6, cjet 5 une équation quelconque, si, par exemple, le point M était forcé de se mouvoir sur une surface courbe, on pourrait alors éliminer de l'équation de l'équilibre une de ces différences, et cette équation ne tiendrait plus lieu. que de deux autres; elle ne tiendrait lieu que d'une seule, s'il existait deux équations entre les trois variables 6, ts et s, par exemple, si le point M était forcé de se mouvoir le long d'une ligne courbe.

Voici maintenant comment, de ce principe, on peut conclure l'équation (Q); pour cela, supposons que la molécule placée en M soit un parallélépipède infiniment petit, dxdydz; la pression /> du fluide sur ce parallélépipède, parallèlement aux a?, est égale à la différence de pression sur les deux faces opposées, égales chacune kdydz; elle sera

donc — ^ dxdydz, p étant ici considéré comme fonction de x^ Hey

et de 5, et le temps / étant regardé comme constant; en divisant cette

pression par la masse ÙL.dxdydz du parallélépipède, on aura — —^

pour la force accélératrice dont il est sollicité parallèlement aux a?, en

dp dp

vertu de la pression du fluide; on aura pareillement^— -^> — ^

DU SYSTÈME DU MONDE. î)7

pour les forces accélératrices clans le sens des v et des z; de plus, h»s vitesses -^> -^> -^ du point M, parallèlement aux a?, aux v et aux z, se changent d<ins Tinstant suivant en

dx . d*jr dv , d^ y dz , d*z

-77 ^- « ' -^nr » -i~ -\-dt -fr » 1 — H r/^ -^r ; dt dl* dt dt^ dt dt^ '

cela posé, il est visible, par les principes connus de Dynamique, que ce point doit être en équilibre en vertu des forces F, F', F", . . . ,

ùx

fPr

rf'3

dt-'

dli'

dt^'

et comme les six dernières de ces forces agissent en sens contraire de l'origine des x^ desj et des ;?, l'équation précédente^ de l'équilibre donnera

si Ton substitue maintenant, au lieu de x, r» -» leurs valeurs en 0, n, s, oLr, OLU, ar, on aura, en négligeant les quantités de Tordre a%

a ( cosv -^ —ssind-r— 1 o(.çcos^)

;-ô[(5 -h a/-) sin(9 -h af/)]*

. , ^ / , ^dr r^''\

2 3cw5sni^ oTîj I sm9 -^ H-.çcos7-^ I

a ( smy-j-^ H-.çcosu-^ 1 o(5sui9)

dv ^ d^ i'

— 2 (xns sinO -r à(s s\i\0) -h a5*sin*^ôiii -7-7

dt ^ dl-

Les équations (1) et (2) appartiennent h tous les points de Tinté-

OF.uvresfie L. — IX. l3

98 UECHEKCHES SLU PLUSIEURS POINTS

ri(Mir <lu tluide, mais Téquation (2) prend une forme un peu difle-

HMiU* k la surface extérieure. Pour la déterminer, nommons •— la

forro accélératrice résultante de la pression du fluide sur le point N placé à la surface extérieure; cette pression agit, comme Ton sait, dans la direction du ravon osculateur; soit p ce ravon, et Ton aura, par ce qui précède.

maintenant, si Ton suppose que les diflerentielles cx^ oy* oz soient celles de Isf surface elle-même, on aura, par la nature du rayon osculateur, os = 0; partant

Téquation {-i) aura donc lieu pour tous les points de la surface extérieure du fluide, pourvu qu*on y suppose op = o et que les dîflerentielles ôCT, oO et os soient celles de la surface elle-même.

Il faut ensuite assujettir le mouvement des points de la surface intérieure du fluide à ce que les diflerences orr, oO et os aient entre elles les mêmes rapports que les difl*érentielles de Téquation à la surface du sphéroïde anlmx il faut enfin satisfaire aux conditions primitives du mouvement du fluide.

Nous supposons ici que le fluide était primitivement en équilibre sur le sphéroïde; soit donc i le demi-axe Ca du sphéroïde, et i-f- yX un rayon quelconque C/i, X étant, pour plus de simplicité, fonction de 0 seul et y étant extrêmement petit, en sorte que le sphéroïde soit un solide de révolution très peu difierent de la sphère. Supposons ensuite que, dans Tétat d'équilibre, la profondeur N/i du fluide soit /y, /étant pareillement extrêmement petit et y étant fonction de 0 seul; le rayon ('.N était conséquemment, dans Tétat d'équilibre, i-h^X-h/y; nous nous permettrons dans la suite de négliger les quantités multipliées

par q ou par /, eu égard à celles du même genre qui ont un coefficient fini; de plus, comme n^ représente k très peu près la force centrifuge à Téquateur du sphéroïde, nous supposerons cette quantité très petite, en sorte que, si Ton nomme g la pesanteur à l'équateur, n^ sera du même ordre que gq ou gl. Cela posé, il est clair que, pour les points du fluide contigus au sphéroïde, r est très petit par rapport à u et a r; car, s étant pour tous ces points égal à i + ^X, s se change en

I H- yX H- oLqu-^y lorsque 0 se change en 0 -i- aw; donc alors

en sorte que r est du même ordre que qu, et l'on peut conséquemment

négliger r vis-^-vis de u. Voyons maintenant si cette supposition est

permise pour tous les autres points du fluide, et si en l'admettant

nous pouvons satisfaire, non seulement aux équations précédentes,

mais encore aux conditions primitives du mouvement du fluide; car, si

nous trouvons qu'elle y satisfait, non seulement elle sera permise,

mais elle, sera encore nécessaire, ainsi que les résultîits auxquels elle

pourra nous conduire, attendu que le fluide, en partant du même état

et étant soumis aux mêmes forces accélératrices, n'a pas deux manières

possibles de se mouvoir.

L'équation (2) prend, en vertu de cette supposition, la forme suivante :

-I- oci^fef sin'ô — ^ h a/î sinôcosô -7- )

— 2 ans is sin* 0 -j- d[(5 -f- ocr) sin(0 -\-au)y

Toutes les forces accélératrices dont le fluide est animé se réduisent aux attractions de toutes les parties du fluide, du sphéroïde et des différents astres que l'on suppose circuler autour de la planète; en sorte

100 KKCIIEUCIIES SLR PLUSIEURS POINTS

((uc, dans la question présente, F est fonction de/, F' est fone(ion de /', et ainsi de suite; le second membre de Téquation précédente est, par conséquent, une différentielle exacte; le premier membre doit donc l'être pareillement, le temps / étant regardé comme constant. Partant, la quantité

^^^1 —rr — 2w-7-sm9cos^ ) \ cit^ dt )

-H^'ocj I sin'v . Y -t- in sm9 cosv-r- \ — 2ns o,ss\n^O-r-

est elle-même une différence exacte, ce qui produit les deux équations suivantes :

fU-rj — 2w sin{?cos(?-T- ) /)( sin*9 — h- isinOêbsO-^j

f^f-ç'-r-j- — ms^ s'inO {.'osO-j- j c^( sin'ô — j

dv\

os Ôl

Kn intégrant ces équations par rapport à /, et observant que, à Tori gine du mouvement, on a

du dv

on aura

du . ^ ^\ w . ^.dv

f^(.ç*-^ 2/i5*r sinO ces ôj

, - • d(rsin«ô)

et ces deux équations tiendront lieu de l*équation (3), parce que, /> étant indéterminé, si ces équations sont satisfaites, on pourra déterminer/? de manière que Téquation (3) soit pareillement satisfaite; mais, p disparaissant, comme on l'a vu, de Téquation à la surface supérieure, il faut, pour les points de cette surface, non seulement que les

équations (4) et (5) soient satisfaites, mais que Téquation (3) le soit encore, en y supposant S/? = o; voyons ce que devient alors cette équation.

Soit G l'attraction du sphéroïde et du fluide à IWigine du mouvement sur un point m de la surface, pour lequel Tangle mZa était égal

il 0 -h aM, le rayon Cm égal à n-yX-h /yn- oLqu-^ ■+- a/i/^|> et la Ion- '

gitude égale a u h- /// -h ar; soit encore 6 la droite suivant laquelle agit cette attraction; cette droite coïncide avec le rayon Cw, aux quantités près de l'ordre 9, en sorte que si l'on fait, pour abréger. Cm = s\ on pourra supposer

N étant fonction de 0; maintenant, dans l'équation (3), on a pour Ir cas de l'équilibre

du d^u dv d}v

71=''' i?r=°' 57=**' dii='''

de plus, comme il s'agit d'un point placé a la surface, il y faut supposer Sp = o; si donc l'on observe que dans ce cas s -h 0Lr = s' et que la somme des termes F S/ -h F' S/' -h . . . est égale à l'attraction du sphéroïde et du fluide multipliée par l'élément de sa direction et, par con- " séquent, égale à G(8s -hq^^), on aura

q[s' s\n (0-\- oc u)]-=z G (ds' -h qd^).

Lorsque le point N arrive pendant l'oscillation sur le rayon Cm, il ne se trouve point à la distance s' du centre C, mais à la distance s -+- 0Lr\

la différence est s -{- ar — s' oxx afr — ya^ ~" '"5ô)* ^^'^

en sorte que oLy exprime la hauteur du point N du fluide au-dessus

102 HËCIIËUCUES SLR PLUSIEURS POINTS

iJe la surface d*cquilihre, que nous regarderons comme le véritable niveau du fluide; Tattraction du sphéroïde et du fluide tels quHs élaienl à l'origine du mouvement, sur le point N, ne difiere de G que d'une quantité de l'ordre av. Soit G -h ajH cette attraction ; elle n'agit plus, comme précédemment, suivant la droite 6^ mais suivant une nouvelle droite 6', dont la direction coïnciderait avec celle du ravon Cm, si l'on avait l=o et y = o, et qui serait égale a 6, si l'on avait ay= o; on peut donc supposer

l'attraction du fluide et du sphéroïde, tels qu'ils étaient à l'origine, sur le point N, placé à la dislance s -^ ccr du centre C, cette attraction, dis-je, multipliée par l'élément de sa direction, est conséquemment égale à (G -h oLyïi){os' -haoy-hqoS -hOLqyoS'); donc, si l'on néglige les quantités des ordres ary, a/^V, ocn^qu et si l'on observe en même temps que 8s' est de l'ordre y oO, et que G est, aux quantités près de

.l'ordre q, égîil à la pesanteur g^, on aura

(G 4-a7lI)o6' d[{s -^ ar)sin{6 -\- o:u)y=z oigdy.

Après le temps /, le fluide n'a plus la même flgure qu'à l'origine du mouvement, et l'attraction de la masse du fluide est visiblement égale à ce qu'elle était à l'origine, plus à l'attraction de la difierence de deux sphéroïdes de même densité que le fluide, dont l'un aurait s' et l'autre ï -+- ay pour rayon; cette attraction est, aux quantités près de l'ordre oLyq, la même que la diff*érence des attractions d'une sphère de même densité que le fluide, et dont le rayon est i, et d'un sphéroïde de pareille densité, et dont le rayon est i -h ay ; soit donc ayA cette différence d'attractions et e la droite suivant laquelle elle agit; on aura pour l'attraction du sphéroïde et du fluide, après le temps /, muhipliée par l'élément de sa direction,

(G-+-ajrH)aê'H-arAde.

Considérons maintenant un astre quelconque S, dont la distance au centre C soit A, et la distance au point N soit /, / étant fonction de s-har, 0 -h aw, tj -hnt-hv, et des quantités qui déterminent la posi-

tion de l'astre S; on aura -^ pour Faction de cet astre sur le point N; en multipliant cette force par l'élément 8/ de sa direction, on aura — S S^ pour produit. Comme nous ne nous proposons pas ici de déterminer les oscillations absolues du fluide dans l'espace, mais ses oscillations sur le sphéroïde, nous supposerons le centre C immobile; il faut conséquemment transporter en sens contraire au point N l'action de S sur Cî pou^ cela, concevons que l'action à transporter soit celle de S sur un point R, éloigné du centre C de la distance CR = a; cette

action, multipliée par l'élément de sa direction, sera — S S-?7, /' étant

ce que devient /lorsqu'on y change 5 4- ar en a; or l'action de S sur R, transportée au point N, est ia même que l'action d'un second astre S', égal en tout au premier, et situé, par rapport a N, de la même manière que S l'est par rapport k R; en prenant donc*C', tel que C'N = CR, C pourra être considéré comme le centre des angles

différentiels §0 et Sa, dans la différence S^; mais, si l'on transporte

le centre de ces angles au point C, il est clair qu'il faut alors changer,

dans ô^TTj 06 en ^^ — » ôct en ^^ — et àa en as -h a^- os.

f a a as

Soit i^j?) ce que devient alors S-^; si l'on fait ensuite dans cette quantité a = o, on aura S(8^j pour l'attraction de S sur C, transportée en sens contraire au point N, et multipliée par l'élément de sa direction; l'attraction de l'astre S produit donc, en vertu de la supposition du centre C immobile, les deux termes -i-SSi — SfS~j> dans

le second membre de l'équation (3).

Nous observons ici que, par la même raison pour laquelle nous avons transporté en sens contraire au point N l'action de S sur le centre C, on doit également transporter en sens contraire à ce même point Tat-

fraction sur le point C d'un sphéroïde dont la densité est 8 et le rayon I -f- ay, moins l'attraction d'une sphère de même densité, et dont le rayon est i, et comme cette dernière attraction est évidemment nulle, il suffit de transporter en sens contraire au point N Faction du sphéroïde précédent sur le point C; mais il est aisé de s'assurer a priori que cette action doit être nulle; car c'est un théorème connu et facile à démontrer, que si un nombre indéfini de corpuscules très voisins les uns des autres sont attirés par un astre éloigné, le centre de gravité du système de ces corpuscules est attiré de la même manière que s'ils étaient tous réunis à leur centre commun de gravité; on sait d'ailleurs que la position de ce centre ne change point par l'aq^lion mutuelle des corpuscules les uns sur les autres; en rapprochant ces deux théorèmes, il est aisé d'en conclure que le poijit G étant, à l'origine du mouvement, le centre de gravité du fluide et du sphéroïde qu'il recouvre, si on lui transporte à chaque instant en sens contraire Faction qu'il éprouve de la part de l'astre S que nous supposcfhs ici à une distance considérable de la planète, ce point restera immobile et sera toujours le Heu du centre 'de gravité du fluide et du sphéroïde; d'où il résulte que l'action du fluide sur ce point sera toujours nulle. On pourra d'ailleurs s'en assurer a posteriori, lorsque nous aurons déterminé la valeur de y. Nous négligeons encore l'attraction du fluide sur le sphéroïde qu'il recouvre et la pression qu'il. exerce lorsqu'il est dérangé de son état d'équilibre. Ces deux forces doivent produire de petits changements dans la position de l'axe de rotation du sphéroïde et dans le mouvement même de rotation, ce qui peut influer sur les valeurs de w, v oly; mais ces changements sont de l'ordre ctyq^ puisqu'ils seraient nuls si l'on avait y = o ou si le sphéroïde était une sphère; nous pouvons donc ici nous permettre de les négliger. Au reste, le calcul d^ ces altérations est très intéressant, puisqu'elles peuvent influer sur la nutation de Taxe de la Terre et sur la précession des équinoxes; nous le donnerons dans la suite de ces recherches.

Si l'on suppose maintenant dans l'équation (3) op = o, et que Foa considère qu'à la surface es est de l'ordre ySô, et que l'on peut sup-

poser ^ = I, on aura pour tous les points de cette surface

^^^(^Z« "" ^'^^sinôcosô j -{-admlsin^O-j-^ -+-î^/i-jT-sin0cos0 )

Soient présentement V Tangle SCa, et 9 la longitude de Tastre S; la différence des longitudes de Fastre et du point N sera donc ^ — zs-^nt — aç; nommons ^ cette différence; cela posé, la distance perpendiculaire de Fastre auplandeFéquateurestÂcosv; sa distance à Faxe Ca estÂsinv; donc sa distance au méridien qui passe par le point N est Âsinvsin^', et sa distance au plan qui, passant par le centre G, est perpendiculaire a Féquateur et au méridien du point N, est Âsinvcos^^; on aura les distances respectives du point N à ces mêmes plans, en changeant dans les quantités précédentes v en 6 -h ai/, A en j 4- ar, et en y supposant <]; = o; on aura donc

/«= [h cosv — (5 4- ar) cos(0 ■+- aa)]*-t- A' sin'v sin*^ ■+■ [h sinv cosvj^ — (5 -h ar) 8in(9 4- au)]*;

d'où Fon tire

l i i (^-+"a'')r /û \ • /û \ • n (s-^-ar)*

-==: -< i-h- — -. — - [cosvcos(9-t-att)-hsin(Ô4-ai/)sinvcos4^]— ^ tj-

-ry— ^ [cosvcos(Ô4- au) H- sin(ô 4- aw)sinvcosvj^]'-+-. . . |;

si Fon change, dans cette expression de^>5 4-aren a, on aura -^^ dope» si Fon suppose h très grand, que Fon fasse

et que Fon observe qu'à la surface Sj est de Fordre y SO, et que s est à très peu près égal à i , on aura

Sf 3-r — i^j = aKi[cosôcosv4-sinÔsinvcos(9 — /!/ — ot)]*.

OKuvrtt dm L, -^ W. 1 4

Il est aisé de voir que — ayA ^ est rattraction perpendiculaire àCN dans le plan du méridien, d'un sphéroïde dont le rayon est i -hay, et

Ût "M f^ itP.

dont la densité est A, et que ?^ -r- est l'attraction du même sphév

roïde, perpendiculairement au plan NCa, ou dans le sens du parallèle; nommant donc aBA la première de ces attractions, et aCA la seconde, on aura

Les quantités B et G ont entre elles un rapport remarquable et qui nous sera utile dans la suite; nommons/ la distance d'une molécule quelconque infiniment petite du sphéroïde que nous venons de considérer au point N; soit m la masse de cette molécule; son attraction sur le point N» perpendiculairement à CN dans le plan du méridien NCa, est

Mû

et son attraction perpendiculairement au plan NCa est

^iû).

(5 4-ar)sinô \à^/'

soit b la première de ces attractions et c la seconde, on aura

cette équation avant lieu, quelle que soit la position de la molécule m, il est clair que la même relation doit exister encore entre les deux attractions du sphéroïde entier^ en sorte que l'on a

dB d.Cs\nÔ âTsy~~ âO '

En faisant les substitutions précédentes dans l'équation (y), elle se

changera dans la suivante

^y ' I -+-Kdô[ 8in2Ô[isin'v — cos'v-Hisin'vcos(a9 — 2/ii — aw)]

• -h2cos266invcosvcos(9-- M/ — ci)}

-H K ici sinv cosv sin2 0 sin (9 — m/ — - ci)

\ -i-Kftiysin'vsln'0sin(29—- 2 m/— 2 ci).

Reprenons Téquation (1) de Farticle II; si Ton ne fait varier s que de la profondeur du fluide, cette profondeur étant supposée fort petite, on peut, en intégrant cette équation, considérer dans toute l'étendue de

rintégrale les quantités s et s* (-^ "^ 5£ "^ " ^^) ^^^^^ constantes

et comme étant les mêmes qu*à la surface du fluide, ce qui donne, en intégrant Téquation depuis la surface du sphéroïde jusqu'à celle du fluide,

(r) étant ce que devient r à la surface du sphéroïde ; or on a (r) z^qu-rk^ donc

partant, y étant égal à r — yw ^ — /m ^> on a

//îx I {au dv cos0\ . dy

Rapprochons maintenant toutes les équations auxquelles nous devons satisfaire; nous aurons d'abord l'équation (6); de plus, comme dans Téquation (y), les difierentielles Su et §0 sont entièrement indépen-

dantes, elle donnera les suivantes

dt^ dt

2 cos2d 9Înv Gosv cos(9 — ni — ?sj)t

ou, en substituant au lieu de j sa valeur,

d^u dv . ^ a

dl* dt

, d^u , dy du . â-y , â^u

(8) / , cos9

^dxsdQ^^^ de ^^âS sïnd ^

-7-5 sin'&-h2n-T7Sinôcos5=:i— ^~- -+-CAsin0 dt* dt ° ans

+ Ksinvcosvsin2dsin(9 — nt — w) + Ksin'vsin'dsin(29 — 2/1^ — 2?sj) ;

OU, en substituant au lieu dey sa valeur,

-7-rSin»5-H 2Ai-r- sin0cos7 dt* dt

. c^'c , (J'«/ - COS0 du . dy du n^ - a

-H Ksinvcosvsin20sin(9 — nt — cr) -HKsin'vsin*0sin(29 —2nt — 20).

Il faut ensuite satisfaire pour tous les points du fluide aux deux équations

dl-^ — ^nçsindcosQ] d(s\n*Ô--rj -H 2ni/sîn0cos9j dfn dO

Il faut enfin satisfaire à ces conditions : que Ton ait à Terigine du

dv du . dv

mouvement y = Of ^ = o, w = o, ^ = o, ç^ = o et ^ = o.

Supposons d'abord que la planète et le fluide n*ont aucun mouvement de rotation et que, à l'origine du mouvement,^ leurs figures ont été sphériques; il faut faire alors dans les équations précédentes 72 = 0 et Y = I, ce qui réduit les équations (6), (8) et (10) aux suivantes :

, , ,/âu di* cos9\

('0 y = — M-ïû^-^iZ^- ""="27 P

^ ^ "^ \d9 àts sin6^/

(la)

'dF ^^^W'^^à^^'^^' de

BA-HKsin2 0[{sin'v — cos'v4- isin'v 003(29 — iw)] aK cosadsinv cosv cos(<p — bj),

^^ . </i f à^^ » ^ " / COS0 du dt* ^ dm* ° dujôd ° sind duj

^^ ' ] -hCAsinô H-Ksinvcosvsina0sin(9 — ci)

-h K sin'vsin'0sin(29 — 2iij);

Téquation (4) donne, en y faisant n = o et en Tintégrant par rapport à /,

, ,. du d.vsln^ô

dfS3 dO

et Téquation (5) donne Supposons d'abord le fluide infiniment rare, ou A = o, et cherchons

los valeurs de m et de i' qui peuvent satisfaire à ces équations; en considérant Téquation (12), il est assez naturel de croire que Texpression de // peut avoir la forme suivante

r et :; étant fonctions de zs et de ^ sans 0, voyons conséquemment si r.elte supposition peut se soutenir et 'quelles sont les valeurs de u et de i' qui en résultent.

En substituant la valeur précédente de u dans Téquation (i4)«

d'où l'on tire, en intégrant par rapport à 6,

a iPa a uîss

H étant une constante qui sera fonction de a et de ^ sans 6; donc

sinad dz cosad dx II

asin'd dm asin'9 dm 8in'(^

On peut mettre cette expression de r sous une forme un peu plus simple, en considérant que Ton a

sina(?=:asinGcosd, i — co8a0 = asin'ô, -

et que Ton peut supposer

H' ne renfermant point 0; on aura ainsi

COS0 dz dx H'

^ dm dm sin'ô

Substituant maintenant ces valeurs de i/ et de (^ dans Téquation (12),

DU SYSTÈME DU MONDE. lit

elle deviendra

. sing , cosQ dn'

Ksin2^[i8in*v — cos'v-t- J sin'v 005(29 — acr)] 2Kcos2 0 8invcosvcos(9 — ct);

il est aisé de voir que cette équation peut se simplifier par la supposition de -tA = — s, et qu'alors la somme des deux termes

>cos0 ,/cos9 A

se réduit au terme

— 2/^ZC0S26;

Téquation précédente devient ainsi

--T-r- -^Slgx-- K[|sin'v — cos'v-+-7sin'vcos(2<p — 2m)]

dt^

cosO dW

■jTpi -1-6/^5 — aKsinv C08V 008(9— d) 4- 2lg-7—j^ -r— - — o;

en égalant séparément à zéro les coefficients de sin20 et de COS26, on aura les trois équations suivantes :

(16) 0= --7^ -4-6/^^ — K[|^sin'v— - cos'v H- jsin'v 003(29 — 2gi)],

(17) o=-j;y +6/^« — aK8invcosvcos(9 — si),

rfr«

Voyons maintenant si ces mêmes équations satisfont à l'équation (i3). En y substituant, au lieu de u et de s^, leurs valeurs et

supposant comme ci-dessus g—^ = — 5, elle devient

sina^ - > t , -H 3/i'-T^ — Ksinvcosvsin(o — bj) I

,. ^^r d^J^ Ig^ d^x C0S2Ô

àU5

— a/g . ,fl ^- — • K sin'vsm(a9 — 2?sj) I ^ sin'0 (fej J

cpw j^ ^ir

■^ rf<« sin«e </iiJ« ~"^' en égalant ù zéro le coefficient de sin20, on aura

., ^ , -T-ô/^'^^ — aKsinvcosvsin(9 — gi) = o,

équation qui résulte de Téquation (17), en la diflërentiant par rapport à a; si Ton égale pareillement à zéro le coefficient de sin^O, on aura, on observant que COS2O = i — 2sin'6,

Si Ton suppose

â*x . dx

Téquation précédente donnera

or cette équation résulte de Téquation (16), en la difi^érentiant par rapport à u; on aura enfin

or, on satisfera à cette équation et à l'équation (18) en supposant H'= o.

Reprenons les équations

(i6) o= — - -\-6igjt: — K[Jsin'v— cos'v4- ^sin*v 005(29 - 2ta)],

drz (17) 0= ~ ~^6lgz — aK sinvcosvcos(9 — vs);

leurs intégrales renferment chacune deux constantes arbitraires, au moyen desquelles on peut remplir les conditions de

du dv dy

à l'origine du mouvement; car il est aisé de voir, par ce qui précède, que ces conditions seront remplies si Ton a, à cjette origine,

dx ^ dz

mais, comme nous ne sommes arrivés aux équations (16) et (17) qu'en

supposant

d^z d^x , dx

-r— : = — z el — - =^ — 4 --r- y

dm* (/w^ âxn

il faut, avant que de les admettre, s'assurer si ces nouvelles équations sont compatibles avec elles; pour cela, différentions deux fois de suite l'équation (17) par rapport à a; en faisant

nous aurons l'équation suivante

d^z' o = -jT- 4-6/^5'— 2Ksinvcosvcos(9 — bt).

Cette équation est précisément la même que l'équation (17); de plus, les deux constantes arbitraires de son intégrale sont encore les

OEuvre» Je L. — W. l5

m UECHERCHES SUR PLUSIEURS POINTS

mêmes que ceJles de Téquation (17), car puisque, à l'origine du mouvement, on a

dz • 5 tzz o et — - = o,

on aura pareillement à cette origine

rr O ou z' —.0

fPs ds

= 0 ou -j- =ro;

doj* ât dt

donc, les constantes arbitraires de l'équation en s' sont déterminées par les mêmes conditions que celles de l'équation en z; partant.

z' ou -T— 5 — — -..

d^z dm-

Pareillement, si Ton différentie l'équation (16) une fois par rapport

à CT, et que Ton fasse

dx ,

on aura

d}x' 0= -— - -+-6/^x'— Ksin'vsin(a9 — a?sj);

si Ton différentie cette dernière équation deux fois de suite par rapport à tj, et que l'on fasse

on aura

0= —^ -4- Slgx"— Ksîn*vsin(a9 — aw);

cette équation est la même que l'équation en a?'; de plus, les constantes arbitraires sont les mêmes, puisque, ayant à l'origine du mouvement

X — o et "ir -~ o»

1) a à cette même origipe

àx

â^x ômdl"^

dx'

dt "■^'

daf

dt °'

on a donc

partant,

d*x , dx dm^ ^dm

Il résulte de là que les valeurs de u et de v ont été bien choisies, puisqu'elles satisfont aux équations (12), (i3) et (i4) et aux conditions primitives du mouvement; rassemblant donc les expressions précédentes, nous aurons

u-=x sin26 + x;cosad,

cosô dz dx

~~ sinô dfs dm^

Téquation (i i) donnera

jzz: /( 35 8in2 0~ 3j7cosad — j? — -T-^\y

et Ton déterminera or et 2 au moyen des* deux équations

(16) o = -T-^ -4- 6lgx — K[|sin*v — cos'v 4- ysin^v 005(29 — aci)],

(17) ozn -— -h 6/^-5 — aKsinvcosvcos(9 — Gj).

Les équations précédentes servent à déterminer le mouvement du fluide à la surface; on aura celui de tous les points intérieurs, en considérant que Téquation (i5) donne, en l'intégrant, s^u égal à une fonction indépendante de s\ donc, s étant toujours très peu différent de Tunité, Texpression de u sera la même pour tous les points originaire-

ment situés sur le même rayon GN. Il est facile de conclure pareillement de l'équation (i4) que la valeur de i^ est la même pour tous ces points; enfin l'équation (i) donne, en l'intégrant et en considérant que la profondeur du fluide est toujours fort petite,

/du ôv cosôX ô'k

\ô6 (hs smô/ ^ dB

a étant la distance primitive du point du fluide que Ton considère à la surface du sphéroïde; la détermination du mouvement de tous les points du fluide se trouve ainsi réduite à l'intégration des équations (i6) et (17); or la loi du mouvement de l'astre étant supposée connue, on aura A, v et 9 en fonctions du temps /; ainsi on pourra intégrer ces équations par les méthodes connues.

Nous avons supposé dans les articles précédents, la densité A du fluide égale à zéro, et cela nous était nécessaire pour connaître la figure qu'il peut prendre; supposons maintenant A quelconque; pour intégrer dans cette supposition les équations (12) et (i3) de l'article VI], il est nécessaire de connaître BAetCA; nous avons vu (art.V) que aBA est l'attraction horizontale dans le sens du méridien d'un sphéroïde dont la densité est A, et le rayon i -\- aj^, et que aCA est Fattraction horizontale du même sphéroïde dans le sens du parallèle ; or j'ai fait voir ci-dessus {voir les recherches précédentes Sur la loi de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes) ( * ) que l'on a

>ii /^iî

1 / sia p -T-^ y' dp dq

.1: ^Tl

«C^-X^ff -?^ y dp dq.

OÙ l'on doit observer : i" que j' est pareille fonction de 0' et de xss'.

(') Page-».

que j' l'est de 6 et de cnr; 2*^ que Ton a

cos^=: cos0H-2sin'/>sin^sin(0 — q) = cos^cos*/> -f- sin'/?cos(ô — 27) et

3^ enfin que les doubles intégrales précédentes doivent être prises depuis p et y égaux à zéro jusqu'à p et q égaux à ir, et qu'ainsi Ton peut rejeter les termes de la forme Pcospdqdp^ P ne renfermant que des puissances paires de cosp. Concevons, cela posé, que Ton ait, comme précédemment,

y =1 l(3zsïn26 — 3a;cos2 9 — jc — -^— U

u z=z j?sina0-F-scos2 0

COS0 âz dx

X et z étant des fonctions de / et de cnr sans 0, telles que Ton ait

â^z ^ à^x ^ dx

en intégrant ces deux dernières équations, on aura

5 = asin(9 — bt) -h Z)cos(cp — m) et

J?=:C-+-a'sin(2Cp — 2Gj)-h 6'C0S(2(p — 2GJ);

a, è, c, a', h' étant des fonctions de / sans ci ni*0; en substituant ces valeurs de 5 et de j? dans l'expression de j, on aura

j= 2/c(i — 3 cos*0) -H6/sin0cos9[a sin(9 — bt) H- 6 ces (9 -- cr)]

-i-6/sin'^[a'sin(29— acr) -h 6' 008(29— 2gi)].

Supposons, pour plus de généralité,

-h[asin(9 — kt)4- 6cos(9 - ci)] sinôcosô(/+/*>sin»0-i-/f*^sin*5-i-...-i- /'•^sin^'ô) H- [a'sin(2 9 — 2Gy)4-6'cos(2 9 — 2iij)]sin*5(/?-t-/>^*^sin*9H-y[?^'^sin*0-+-...H-/?('*>sin-'*6),

on aura

maintenant on a

sin( 9— GT');=sin( 9— gt)cos( cj'— ci)— cos( 9— isr)|în( bj'— ci), cos( 9— cy') = cos( 9— Gi)cos( zn'— ?sj)-hsin( 9— Gi)8in( m'— w), sin(29 — 2nj') = sin(29 — 2gi)co8(2w'— tjci) —008(29 — 2nj)8in(2cj'— 2©),

008(29 — 2Gl') = 008(20 — 2Bj)C0S(2nj'— 2?Sj) -+- 8m(29 — 2nj) 810(20/— 2fST);

donc

-h j [flrsin(9 — cj) H- 6008(9 — Gj)] 008 (gt'— ^) -t- [6 8in(9— ci) — aoo8(9 — ci)] 8in(oj'— gt) j

xsîn9'oos6'(/-h/«)sin»0'-f-...-h/'''sin»''0') -i-j[a'sin(2 9— 2Gi)-h6'oos(29— 2Gj)]oos(2Gi'— 2Gi)-+-[6'sin(2 9— 2nj)— ^'008(29— 2?sj)]sin(2ro'— 2Gy)j

X sin«0'(/? -h /?i«)8in«0'H- ...-+- /?<'->sin"'6').

On tirera facilement, des valeurs de cosO' et de sin(car'— gj),

sin0 — 2 8in'/5 8in^ 008(0 — q)

00s ( GJ'- ct) =

sin6'

... . 4sin08in/?oos*/?sin7-f- 4sin*;?008;?sin7 8in(ô — 27)

, , . [8in0oos'o-H8in';?8in(0 — 2^)]»— 4sin'/?oos'/?8in'7

008( 2GT — 2?SJ) = : — 5-757 I

sm*0' '

on aura, cela posé, en négligeant les termes qu'il est permis de négliger d'après la remarque que nous avons faite ci-dessus,

.« j^.it

[ / 2sin/?oo8Vcosô'(/-4-/>ïsin»0'H-. . .-^ /^''^sïn^''d')dpdq

>it y'n

f / 4sin/7COS*/?8in0(/7 H-/?<*>sin'0'-+-. . .-hp^''^sïn^''9')dpdq

f / 4sin'/?cosVsin(0 — 2^) (/?-h/><*^sin*0'-f-...-4-p<''^sin*'*ô'(d'/?

Or on a généralement

=: / sin(0 — 2^) {i — [cos0cosV-+-sin*/>cos(9 — 2^)]* jM^=:o;

on a, de plus,

•it ^ic

I f sïnp cos^p cos*»*^* 6' dp dq

/ sin/>cos*/>[cos0cosV-*-sin'/>cos(0 — a^)]*!*-^»^^^?^^^;

si Ton considère maintenant que